Հաշվարկի ժամանակ, երբ y- ի համար հավասարություն կա գրված x ձևով (օր. Y = x2 -3x), ածանցյալը գտնելու համար հեշտ է օգտագործել հիմնական ածանցյալ տեխնիկան (որը մաթեմատիկոսները նշում են որպես անուղղակի ֆունկցիայի ածանցյալ տեխնիկա): Այնուամենայնիվ, հավասարումների համար, որոնք դժվար է կառուցել միայն y տերմինով, հավասարության նշանի մի կողմում (օրինակ ՝ x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), այլ մոտեցում է անհրաժեշտ: Տեխնիկայի միջոցով, որը կոչվում է անուղղակի ֆունկցիայի ածանցյալներ, հեշտ է գտնել բազմափոփոխ հավասարումների ածանցյալներ, եթե դուք գիտեք հստակ ֆունկցիայի ածանցյալների հիմունքները:
Քայլ
Մեթոդ 1 -ը ՝ 2 -ից. Արագ ստացեք պարզ հավասարումներ
Քայլ 1. Ստացեք x տերմինները, ինչպես միշտ:
Երբ փորձում ենք բխել x- ի նման բազմափոփոխ հավասարում2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, դժվար է իմանալ, թե որտեղից սկսել: Բարեբախտաբար, անուղղակի գործառույթի ածանցյալի առաջին քայլը ամենահեշտն է: Պարզապես բերեք հավասարման երկու կողմերում գտնվող x- տերմինները և հաստատունները `սկզբնական սովորական (բացահայտ) ածանցյալների կանոնների համաձայն: Առայժմ անտեսեք y- տերմինները:
-
Փորձենք բերել վերը նշված պարզ հավասարման օրինակ: x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 -ը ունի երկու տերմին x: x2 և -5x Եթե մենք ուզում ենք հավասարություն ստանալ, ապա առաջին հերթին պետք է դա անենք, այսպես.
-
-
x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (Իջեցրեք 2 -ի հզորությունը x- ում2 որպես գործակից, հեռացրեք x -5x- ում և փոխեք 19 -ը 0 -ի)
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
-
Քայլ 2. Ստացեք y տերմինները և յուրաքանչյուր տերմինի կողքին ավելացրեք (dy/dx):
Ձեր հաջորդ քայլի համար պարզապես ստացեք y տերմինները նույն կերպ, ինչպես ստացաք x տերմինները: Այս անգամ, սակայն, յուրաքանչյուր տերմինի կողքին ավելացրեք (dy/dx), ինչպես գործակիցներ կավելացնեիք: Օրինակ, եթե իջեցնեք y- ն2, ապա ածանցյալը դառնում է 2y (dy/dx): Առայժմ անտեսեք այն տերմինները, որոնք ունեն x և y:
-
Մեր օրինակում մեր հավասարումը այժմ այսպիսին է ՝ 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. Մենք y- ի ստացման հաջորդ քայլը կկատարենք հետևյալ կերպ.
-
-
2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (Իջեցրեք y- ի 2 -ի ուժը2 որպես գործակիցներ, y- ն հանեք 8y- ում և յուրաքանչյուր տերմինի կողքին դրեք dy/dx):
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2= 0
-
-
Քայլ 3. x և y ունեցող տերմինների համար օգտագործեք արտադրանքի կանոնը կամ գործակիցի կանոնը:
X և y ունեցող տերմինների հետ աշխատելը մի փոքր բարդ է, բայց եթե դուք գիտեք արտադրանքի կանոնները և ածանցյալների գործակիցը, ապա ձեզ համար դա հեշտ կլինի: Եթե x և y տերմինները բազմապատկվում են, օգտագործեք արտադրանքի կանոնը ((f × g) '= f' × g + g × f '), x տերմինը փոխարինելով f- ով և y տերմինը `g- ով: Մյուս կողմից, եթե x և y տերմինները փոխադարձաբար բացառում են, օգտագործեք գործակիցի կանոնը ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/գ2), համարիչը փոխարինելով f- ով, իսկ հայտարարը `g- ով:
-
Մեր օրինակում ՝ 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0, մենք ունենք միայն մեկ տերմին, որն ունի x և y - 2xy2. Քանի որ x և y բազմապատկվում են միմյանց հետ, մենք կօգտագործենք արտադրյալի կանոնը ՝ հետևյալը ստանալու համար.
-
- 2xy2 = (2x) (y2)- սահմանել 2x = f և y2 = g (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x). (Y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy/dx))
- (f × g) '= 2y2 + 4xy (dy/dx)
-
- Սա ավելացնելով մեր հիմնական հավասարմանը ՝ մենք ստանում ենք 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
Քայլ 4. Մենակ (dy/dx):
Դուք գրեթե ավարտեցիք: Այժմ ձեզ մնում է լուծել հավասարումը (dy/dx): Սա դժվար է թվում, բայց սովորաբար այդպես չէ: Հիշեք, որ a և b երկու տերմինները բազմապատկվում են (dy/dx) բազմապատկման բաշխիչ հատկության պատճառով կարող են գրվել որպես (a + b) (dy/dx): Այս մարտավարությունը կարող է ավելի հեշտացնել մեկուսացումը (dy/dx). Պարզապես տեղափոխեք փակագծերի մյուս կողմում մնացած բոլոր տերմինները, այնուհետև բաժանեք տերմինների (dy/dx) կողքի փակագծերում:
-
Մեր օրինակում մենք պարզեցնում ենք 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0 հետևյալ կերպ.
-
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
-
Մեթոդ 2 -ից 2 -ը `Օգտագործելով առաջադեմ տեխնիկա
Քայլ 1. Մուտքագրեք արժեքը (x, y) ՝ ցանկացած կետի համար գտնելու համար (dy/dx):
Ապահով Դուք արդեն անուղղակիորեն վերցրել եք ձեր հավասարումը. Օգտագործելով այս հավասարումը ՝ ցանկացած կետի գրադիենտ (dy/dx) գտնելու համար (x, y) նույնքան հեշտ է, որքան ձեր կետի x և y արժեքները հավասարման աջ կողմում միացնելը, ապա գտնելը (dy/dx).
-
Օրինակ, ենթադրենք, որ մենք ցանկանում ենք գտնել գրադիենտը (3, -4) կետում `մեր վերը նշված օրինակի հավասարման համար: Դա անելու համար մենք 3 -ը կփոխարինենք x- ով և -4 -ով ՝ y- ով ՝ լուծելով հետևյալ կերպ.
-
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))
- (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))
- (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48, կամ 0, 6875.
-
Քայլ 2. Օգտագործեք շղթայի կանոնը գործառույթների շրջանակներում:
Շղթայական կանոնը կարևոր գիտելիք է, որը պետք է ունենալ հաշվելի խնդիրների վրա (ներառյալ անուղղակի ֆունկցիայի ածանցյալ խնդիրները): Շղթայի կանոնը նշում է, որ F (x) ֆունկցիայի համար, որը կարելի է գրել որպես (f o է) (x), F (x) ածանցյալը հավասար է f '(g (x)) g' (x). Դժվար անուղղակի ֆունկցիայի ածանցյալ խնդիրների դեպքում սա նշանակում է, որ հնարավոր է բխել հավասարման տարբեր առանձին մասերից, այնուհետև միավորել արդյունքները:
-
Որպես պարզ օրինակ, ենթադրենք, որ մենք պետք է գտնենք մեղքի ածանցյալը (3x2 + x) որպես մեղքի հավասարման համար ավելի մեծ անուղղակի ֆունկցիայի ածանցյալ խնդրի մաս (3x2 + x) + y3 = 0. Եթե պատկերացնենք մեղքը (3x2 + x) f (x) և 3x2 + x որպես g (x), մենք կարող ենք ածանցյալը գտնել հետևյալ կերպ.
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (մեղք (3x2 + x)) '× (3x2 +x) '
- cos (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x)2 +x)
-
Քայլ 3. x, y և z փոփոխականներով հավասարումների համար գտեք (dz/dx) և (dz/dy):
Չնայած հիմնական հաշվարկում անսովոր է, որոշ առաջադեմ ծրագրեր կարող են պահանջել երկուից ավելի փոփոխականների անուղղակի գործառույթների ստացում: Յուրաքանչյուր լրացուցիչ փոփոխականի համար դուք պետք է գտնեք դրա լրացուցիչ ածանցյալը x- ի նկատմամբ: Օրինակ, եթե ունեք x, y և z, դուք պետք է փնտրեք երկուսն էլ (dz/dy) և (dz/dx): Մենք կարող ենք դա անել ՝ x- ի նկատմամբ հավասարումը երկու անգամ բխեցնելու համար. Նախ, մենք մուտքագրում ենք (dz/dx) ամեն անգամ, երբ մենք ստանում ենք z պարունակող տերմին, և երկրորդ ՝ ամեն անգամ, երբ բխում ենք, տեղադրում ենք (dz/dy) զ Դրանից հետո պարզապես լուծում է (dz/dx) և (dz/dy):
- Օրինակ, ենթադրենք, որ մենք փորձում ենք x- ից բխել3զ2 - 5 հոգի5z = x2 + y3.
-
Նախ եկեք բխենք x- ի դեմ և մուտքագրենք (dz/dx): Անհրաժեշտության դեպքում մի մոռացեք կիրառել արտադրանքի կանոնը:
-
- x3զ2 - 5 հոգի5z = x2 + y3
- 3x2զ2 + 2x3z (dz/dx) - 5y5z - 5xy5(dz/dx) = 2x
- 3x2զ2 + (2x3z - 5xy5) (dz/dx) - 5y5z = 2x
- (2x3z - 5xy5) (dz/dx) = 2x - 3x2զ2 + 5 տարի5զ
- (dz/dx) = (2x - 3x)2զ2 + 5 տարի5z)/(2x3z - 5xy5)
-
-
Հիմա նույնը արեք (dz/dy) - ի համար
-
- x3զ2 - 5 հոգի5z = x2 + y3
- 2x3z (dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2
- (2x3z - 5xy5) (dz/dy) = 3y2 + 25 հոգի4զ
- (dz/dy) = (3y2 + 25 հոգի4z)/(2x3z - 5xy5)
-
