Ինչպես պարզեցնել մաթեմատիկական հավասարումները. 13 քայլ

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-15 08:17

Մաթեմատիկայի ուսանողներին հաճախ խնդրում են գրի առնել իրենց պատասխաններն իրենց ամենապարզ ձևով, այլ կերպ `հնարավորինս էլեգանտ գրել պատասխանները: Չնայած երկար, թունդ և կարճ, ինչպես նաև էլեգանտ հավասարումները տեխնիկապես նույնն են, բայց հաճախ մաթեմատիկական խնդիրը ամբողջական չի համարվում, եթե վերջնական պատասխանը չկրկնվի իր ամենապարզ ձևին: Բացի այդ, պատասխանը իր ամենապարզ ձևով գրեթե միշտ ամենահեշտ հավասարումն է: Այս պատճառով սովորելը, թե ինչպես պարզեցնել հավասարումները, կարևոր հմտություն է մաթեմատիկոսների համար:

Քայլ

Մեթոդ 1 -ից 2 -ը ՝ Գործողության հաջորդականության օգտագործումը

Քայլ 1. Իմացեք գործողությունների կարգը:

Մաթեմատիկական արտահայտությունները պարզեցնելիս չի կարելի ձախից աջ աշխատել, բազմապատկել, ավելացնել, հանել և այլն ՝ ձախից աջ: Որոշ մաթեմատիկական գործողություններ պետք է գերակայություն ունենան մյուսներից և կատարվեն առաջինը: Իրականում, գործողությունների սխալ կարգի օգտագործումը կարող է սխալ պատասխան տալ: Գործողությունների կարգը հետևյալն է ՝ փակագծերի հատվածը, ցուցիչը, բազմապատկումը, բաժանումը, գումարը և վերջապես ՝ հանումը: Մի հապավում, որը կարող եք օգտագործել հիշելու համար, քանի որ մայրը լավը չէ, չարն է և աղքատը:

Նկատի ունեցեք, որ եթե գործողությունների կարգի մասին հիմնական գիտելիքները կարող են պարզեցնել ամենահիմնական հավասարումները, շատ փոփոխական հավասարումներ պարզեցնելու համար պահանջվում են հատուկ տեխնիկա, ներառյալ գրեթե բոլոր բազմանդամները: Լրացուցիչ տեղեկությունների համար տե՛ս հետևյալ երկրորդ մեթոդը:

Քայլ 2. Սկսեք փակագծերում լրացնելով բոլոր հատվածները:

Մաթեմատիկայում փակագծերը նշում են, որ ներքին մասը պետք է հաշվարկվի առանձին փակագծերից դուրս արտահայտությունից: Անկախ նրանից, թե ինչ գործողություններ են կատարվում փակագծերում, համոզվեք, որ առաջինը լրացրեք փակագծերի ներսում, երբ փորձում եք պարզեցնել հավասարումը: Օրինակ, փակագծերում դուք պետք է բազմապատկեք ՝ գումարելուց, հանումից և այլն:

• Օրինակ, եկեք փորձենք պարզեցնել 2x + 4 (5 + 2) + 3 հավասարումը² - (3 + 4/2): Այս հավասարման մեջ մենք պետք է առաջինը լուծենք փակագծերի ներսում գտնվող հատվածը, այն է ՝ 5 + 2 և 3 + 4/2: 5 + 2 =

  Քայլ 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Քայլ 5

  Երկրորդ փակագծի հատվածը պարզեցված է մինչև 5, քանի որ ըստ գործողությունների կարգի, մենք 4/2 -ը նախ բաժանում ենք փակագծերում: Եթե մենք պարզապես աշխատում ենք ձախից աջ, ապա առաջինը ավելացնում ենք 3 -ը և 4 -ը, ապա բաժանում ենք 2 -ի ՝ սխալ պատասխան տալով 7/2:

• Նշում.

Քայլ 3. Լուծիր ցուցիչը:

Փակագծերն ավարտելուց հետո հաջորդը լուծիր քո հավասարման ցուցիչը: Սա հեշտ է հիշել, քանի որ ցուցիչների դեպքում բազային թիվը և հզորության հզորությունը գտնվում են միմյանց կողքին: Գտեք ցուցիչի յուրաքանչյուր մասի պատասխանը, այնուհետև ձեր պատասխանը միացրեք հավասարման մեջ `ցուցիչ մասի փոխարեն:

Փակագծերում հատվածն ավարտելուց հետո մեր օրինակի հավասարումը այժմ դառնում է 2x + 4 (7) + 3² - 5 Մեր օրինակի միակ ցուցիչը 3 -ն է², որը հավասար է 9. Ավելացրեք այս արդյունքը ձեր հավասարումին ՝ 3 -ը փոխարինելու համար² արդյունքում ՝ 2x + 4 (7) + 9 - 5:

Քայլ 4. Լուծիր բազմապատկման խնդիրը քո հավասարման մեջ:

Հաջորդը, արեք այն, ինչ բազմապատկումը անհրաժեշտ է ձեր հավասարման մեջ: Հիշեք, որ բազմապատկումը կարող է գրվել մի քանի ձևով: × կետը կամ աստղանիշը բազմապատկման ցուցադրման միջոց է: Այնուամենայնիվ, փակագծերի կողքին գտնվող թիվը կամ փոփոխականը (օրինակ ՝ 4 (x)) նույնպես ներկայացնում են բազմապատկում:

• Մեր խնդրում բազմապատկման երկու մաս կա `2x (2x- ը 2 × x) և 4 (7): Մենք չգիտենք x- ի արժեքը, ուստի այն թողնում ենք 2x: 4 (7) = 4 × 7 =

  Քայլ 28.. Մենք կարող ենք մեր հավասարումը նորից գրել 2x + 28 + 9 - 5:

Քայլ 5. Անցեք բաժանումին:

Երբ ձեր հավասարումների մեջ բաժանման խնդիրներ եք փնտրում, հիշեք, որ ինչպես բազմապատկումը, բաժանումը կարող է գրվել մի շարք եղանակներով: Դրանցից մեկը խորհրդանիշն է, սակայն հիշեք, որ կտրվածքներն ու գծերը, ինչպես կոտորակներում (օրինակ ՝ 3/4), նույնպես ցույց են տալիս բաժանումը:

Քանի որ մենք արդեն կատարել ենք բաժանումը (4/2), երբ մասերը փակագծերում ավարտեցինք: Մեր օրինակը արդեն չունի բաժանման խնդիր, ուստի մենք բաց կթողնենք այս քայլը: Սա ցույց է տալիս մի կարևոր կետ. Անհրաժեշտ չէ բոլոր գործողությունները կատարել արտահայտությունը պարզեցնելիս, այլ միայն այն խնդիրները, որոնք պարունակվում են քո խնդրում:

Քայլ 6. Հաջորդը, ավելացրեք այն, ինչ կա ձեր հավասարման մեջ:

Դուք կարող եք աշխատել ձախից աջ, բայց ավելի հեշտ է նախ գումարել հեշտ գումարվող թվերը: Օրինակ, 49 + 29 + 51 + 71 խնդրում ավելի հեշտ է ավելացնել 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100, և 100 + 100 = 200, քան 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129:, իսկ 129 + 71 = 200:

Մեր օրինակի հավասարումը մասամբ պարզեցվել է մինչև 2x + 28 + 9 - 5: Այժմ, մենք պետք է գումարենք այն թվերը, որոնք կարող ենք գումարել: Եկեք նայենք յուրաքանչյուր գումարման խնդրին ձախից աջ: Մենք չենք կարող ավելացնել 2x և 28, քանի որ չգիտենք x- ի արժեքը, ուստի մենք պարզապես բաց կթողնենք այն: 28 + 9 = 37, կարող է վերաշարադրվել որպես 2x + 37 - 5:

Քայլ 7. Գործողությունների հաջորդականության վերջին քայլը հանումն է:

Շարունակեք ձեր խնդիրը ՝ լուծելով մնացած հանման խնդիրները: Հնարավոր է ՝ կարողանաք հանումը համարել այս քայլում բացասական թվեր ավելացնելը կամ օգտագործել նույն քայլերը, ինչ սովորական գումարման խնդրի դեպքում. Ձեր ընտրությունը չի ազդի ձեր պատասխանի վրա:

• Մեր խնդրում ՝ 2x + 37 - 5, կա միայն մեկ հանումի խնդիր: 37 - 5 =

  Քայլ 32.

Քայլ 8. Ստուգեք ձեր հավասարումը:

Գործողությունների կարգը լուծելուց հետո ձեր հավասարումը պետք է պարզեցվի իր ամենապարզ ձևին: Այնուամենայնիվ, եթե ձեր հավասարումը պարունակում է մեկ կամ մի քանի փոփոխական, հասկացեք, որ ձեր փոփոխականների վրա աշխատելու կարիք չկա: Փոփոխականը պարզեցնելու համար դուք պետք է կամ գտնեք ձեր փոփոխականի արժեքը, կամ օգտագործեք հատուկ տեխնիկա արտահայտությունը պարզեցնելու համար (տե՛ս ստորև բերված քայլը):

Մեր վերջնական պատասխանը 2x + 32 է: Մենք չենք կարող լուծել այս վերջնական գումարը, եթե չգիտենք x- ի արժեքը, բայց եթե իմանայինք դրա արժեքը, ապա այս հավասարումը լուծելը շատ ավելի հեշտ կլիներ, քան մեր երկար սկզբնական հավասարումը:

Մեթոդ 2 2 -ից. Պարզեցված բարդ հավասարումներ

Քայլ 1. Ավելացրեք նույն փոփոխական ունեցող մասերը:

Փոփոխական հավասարումներ լուծելիս հիշեք, որ միևնույն փոփոխական և ցուցիչ (կամ նույն փոփոխական) ունեցող մասերը կարելի է գումարել և հանել սովորական թվերի պես: Այս մասը պետք է ունենա նույն փոփոխականն ու ցուցիչը: Օրինակ, կարելի է ավելացնել 7x և 5x, բայց 7x և 5x² չի կարող գումարվել:

• Այս կանոնը վերաբերում է նաև որոշ փոփոխականներին: Օրինակ, 2xy² կարելի է ամփոփել -3xy- ով², բայց չի կարող ամփոփվել -3x- ով²y կամ -3y².
• Տես x հավասարումը² + 3x + 6 - 8x Այս հավասարման մեջ մենք կարող ենք ավելացնել 3x և -8x, քանի որ դրանք ունեն նույն փոփոխականն ու ցուցիչը: Պարզ հավասարումը դառնում է x² - 5x + 6

Քայլ 2. Պարզեցրեք կոտորակային թվերը `գործոնները բաժանելով կամ հատելով:

Այն կոտորակները, որոնք համարիչում և հայտարարում ունեն միայն թվեր (և փոփոխականներ), կարող են պարզեցվել մի քանի եղանակով: Առաջինը, և գուցե ամենահեշտը, կոտորակը համարելն է որպես բաժանման խնդիր և հայտարարը բաժանել համարիչի վրա: Բացի այդ, թվանշանի և հայտարարի մեջ հայտնված բազմապատկման ցանկացած գործոն կարող է հատվել, քանի որ երկու գործոնների բաժանման արդյունքում ստացվում է թիվ 1:

Օրինակ, նայեք 36/60 կոտորակին: Եթե ունենք հաշվիչ, ապա պատասխանը ստանալու համար կարող ենք բաժանել այն 0, 6. Այնուամենայնիվ, եթե մենք չունենք հաշվիչ, մենք դեռ կարող ենք պարզեցնել այն ՝ հատելով նույն գործոնները: 36/60 պատկերացնելու մեկ այլ եղանակ է (6 × 6)/(6 × 10): Այս կոտորակը կարող է գրվել որպես 6/6 × 6/10: 6/6 = 1, ուստի մեր կոտորակը իրականում 1 × 6/10 = 6/10 է: Այնուամենայնիվ, մենք դեռ չենք ավարտել. Եվ՛ 6 -ը, և՛ 10 -ը ունեն նույն գործոնը, որը 2 -ն է: Կրկնելով վերը նշված մեթոդը ՝ արդյունքը դառնում է 3/5.

Քայլ 3. Փոփոխական կոտորակի վրա խաչաձևեք փոփոխականի բոլոր գործոնները:

Փոփոխական հավասարումները կոտորակային ձևով ունեն պարզեցման յուրահատուկ եղանակ: Ինչպես սովորական կոտորակները, այնպես էլ փոփոխական կոտորակները թույլ են տալիս վերացնել այն գործոնները, որոնք ընդհանուր են և՛ հաշվիչի, և՛ հայտարարի համար: Այնուամենայնիվ, փոփոխական կոտորակներում այս գործոնները կարող են լինել իրական փոփոխականի թվերը և հավասարումները:

• Ասենք հավասարումը (3x² + 3x)/(-3x² + 15x): Այս կոտորակը կարող է գրվել որպես (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x- ը հայտնվում է ինչպես համարիչով, այնպես էլ հայտարարով: Այս գործոնները հավասարումից դուրս հանելով ՝ արդյունքը դառնում է (x + 1)/(5 - x): Նույնը, ինչ արտահայտության մեջ (2x² + 4x + 6)/2, քանի որ յուրաքանչյուր մաս բաժանվում է 2 -ի, մենք կարող ենք հավասարումը գրել որպես (2 (x² + 2x + 3))/2 և այնուհետև պարզեցրեք մինչև x² + 2x + 3:
• Նկատի ունեցեք, որ դուք չեք կարող խաչ քաշել բոլոր բաժինների վրա. Կարող եք հատել միայն թվանշանի և հայտարարի մեջ հայտնվող բազմապատկման գործոնները: Օրինակ, (x (x + 2))/x արտահայտության մեջ x- ը կարելի է հատել ինչպես համարիչից, այնպես էլ հայտարարից, այնպես, որ այն դառնա (x + 2)/1 = (x + 2): Այնուամենայնիվ, (x + 2)/x- ը չի կարող հատվել 2/1 = 2 -ի վրա:

Քայլ 4. Փակագծերում հատվածը բազմապատկիր հաստատունով:

Փակագծերում փոփոխական ունեցող մասի հաստատունով բազմապատկելիս, երբեմն փակագծերում յուրաքանչյուր մասի հաստատունով բազմապատկելը կարող է հանգեցնել ավելի պարզ հավասարման: Սա վերաբերում է հաստատուններին, որոնք բաղկացած են միայն թվերից և փոփոխականներ ունեցող հաստատուններից:

• Օրինակ ՝ հավասարություն 3 (x² + 8) կարելի է պարզեցնել 3x- ի² + 24, մինչդեռ 3x (x² + 8) կարելի է պարզեցնել 3x- ի³ + 24x
• Նկատի ունեցեք, որ որոշ դեպքերում, օրինակ ՝ փոփոխական կոտորակները, փակագծերի շուրջ հաստատունները կարելի է հատել այնպես, որ դրանք փակագծերի մասի վրա բազմապատկելու կարիք չունենան: Կոտորակներում (3 (x² + 8))/3x, օրինակ ՝ գործակից 3 -ը հայտնվում է և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում, ուստի կարող ենք այն հատել և պարզեցնել արտահայտությունը (x² + 8)/x Այս արտահայտության հետ աշխատելը ավելի պարզ և հեշտ է, քան (3x)³ + 24x)/3x, որն այն արդյունքն է, որը մենք կստանանք այն բազմապատկելու դեպքում:

Քայլ 5. Պարզեցրեք ֆակտորինգի միջոցով:

Ֆակտորինգը տեխնիկա է, որը կարող է օգտագործվել որոշ փոփոխական արտահայտություններ պարզեցնելու համար, ներառյալ ՝ բազմանդամները: Մտածեք ֆակտորինգի մասին ՝ որպես վերը նշված քայլում փակագծերում տեղադրված մասի բազմապատկում: Երբեմն արտահայտությունը կարելի է համարել որպես երկու մաս, որոնք բազմապատկվում են միմյանցով, այլ ոչ թե որպես միասնական արտահայտություն: Սա հատկապես ճիշտ է, եթե հավասարումը ֆակտորինգի միջոցով թույլ ես տալիս հատել դրա մասերից մեկը (ինչպես կոտորակներում): Որոշ դեպքերում (հաճախ քառակուսի հավասարումների դեպքում) ֆակտորինգը կարող է նույնիսկ թույլ տալ գտնել հավասարման լուծումը:

• Եկեք նորից ընդունենք x արտահայտությունը² - 5x + 6. Այս արտահայտությունը կարելի է հաշվի առնել (x - 3) (x - 2): Այսպիսով, եթե x² - 5x + 6- ը տրված հավասարման համարիչ է, որտեղ հայտարարն ունի այս գործոններից մեկը, ինչպես արտահայտության մեջ (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), գուցե ցանկանանք գրել այն գործոնի տեսքով, որպեսզի կարողանանք գործակիցը խաչաձեւ հատել: Այլ կերպ ասած, (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) մասում (x - 2) մասը կարելի է հատել (x - 3)/2 լինելու համար:

• Ինչպես նշվեց վերևում, մեկ այլ պատճառ, որով դուք կարող եք գործոնավորել ձեր հավասարումները, այն է, որ ֆակտորինգը կարող է ձեզ տալ որոշակի հավասարումների պատասխաններ, հատկապես, եթե դրանք գրված են 0 -ի հավասար: Օրինակ ՝ հավասարումը x² - 5x + 6 = 0. Ֆակտորինգը տալիս է (x - 3) (x - 2) = 0. Քանի որ ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկած հավասար է զրոյի, մենք գիտենք, որ եթե փակագծերի որևէ մաս հավասար է զրոյի, ապա հավասարումը ձախից հավասարության նշանը, նույնպես զրո է: Այնպես, որ

  Քայլ 3. դա

  Քայլ 2. հավասարման երկու պատասխաններն են: