Ռացիոնալ հավասարումը կոտորակ է ՝ համարիչով կամ հայտարարով մեկ կամ ավելի փոփոխականներով: Ռացիոնալ հավասարումը ցանկացած կոտորակ է, որը ներառում է առնվազն մեկ ռացիոնալ հավասարություն: Սովորական հանրահաշվական հավասարումների պես, ռացիոնալ հավասարումները լուծվում են հավասարման երկու կողմերում նույն գործողությունը կատարելով, մինչև փոփոխականները փոխանցվեն հավասարման երկու կողմերին: Երկու հատուկ տեխնիկա ՝ խաչաձև բազմապատկումը և ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը գտնելը, փոփոխականների տեղափոխման և ռացիոնալ հավասարումների լուծման շատ օգտակար եղանակներ են:
Քայլ
Մեթոդ 1 -ից 2 -ը ՝ Խաչի բազմապատկում
Քայլ 1. Անհրաժեշտության դեպքում վերադասավորեք ձեր հավասարումը ՝ հավասարման մի կողմում կոտորակ ստանալու համար:
Խաչաձեւ բազմապատկումը ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու արագ եւ հեշտ միջոց է: Unfortunatelyավոք, այս մեթոդը կարող է օգտագործվել միայն ռացիոնալ հավասարումների համար, որոնք հավասարման յուրաքանչյուր կողմում պարունակում են առնվազն մեկ ռացիոնալ հավասարություն կամ կոտորակ: Եթե ձեր հավասարումը չի համապատասխանում արտադրանքի այս խաչմերուկի պահանջներին, գուցե ստիպված լինեք օգտագործել հանրահաշվական գործողությունները `մասերը ճիշտ տեղեր տեղափոխելու համար:
-
Օրինակ, հավասարումը (x + 3)/4-x/(-2) = 0 հեշտությամբ կարելի է դնել խաչաձև արտադրանքի մեջ ՝ հավասարման երկու կողմերին x/(-2) ավելացնելով, որպեսզի այն դառնա (x + 3)/4 = x/(-2):
Նկատի ունեցեք, որ տասնորդական և ամբողջ թվերը կարող են վերածվել կոտորակների ՝ հայտարարը տալով 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, օրինակ, կարող են վերաշարադրվել որպես (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, ինչը բավարարում է խաչի բազմապատկման պայմանին:
- Որոշ ռացիոնալ հավասարումներ չեն կարող հեշտությամբ վերածվել այն ձևի, որը յուրաքանչյուր կողմում ունի մեկ կոտորակ կամ ռացիոնալ հավասարություն: Նման դեպքերում օգտագործեք նույն նվազագույն հայտարարի մոտեցումը:
Քայլ 2. Խաչը բազմապատկեք:
Խաչի բազմապատկում նշանակում է կոտորակի համարիչներից մեկը բազմապատկել մեկ այլ կոտորակի հայտարարի վրա և հակառակը: Բազմապատկեք ձախ կողմում գտնվող կոտորակի համարիչը աջ կողմի կոտորակի հայտարարի վրա: Կրկնել աջ հայտարարով ձախ հայտարարով:
Խաչի բազմապատկումն աշխատում է հիմնական հանրահաշվական սկզբունքների համաձայն: Ռացիոնալ հավասարումները և այլ կոտորակները կարող են վերածվել ոչ կոտորակների ՝ դրանք բազմապատկելով հայտարարի վրա: Խաչաձև արտադրանքը հիմնականում արագ միջոց է հավասարման երկու կողմերը երկու հայտարարի վրա բազմապատկելու համար: Չեն հավատում? Փորձեք. Պարզեցնելուց հետո նույն արդյունքը կստանաք:
Քայլ 3. Երկու ապրանքները հավասարեցրեք միմյանց:
Խաչաձև բազմապատկումից հետո դուք կստանաք բազմապատկման երկու արդյունք: Դարձրեք դրանք միմյանց հավասար և պարզեցրեք, որպեսզի հավասարումը հնարավորինս պարզ լինի:
Օրինակ, եթե ձեր սկզբնական ռացիոնալ հավասարումը (x+3)/4 = x/(-2) էր, խաչի բազմապատկումից հետո ձեր նոր հավասարումը դառնում է -2 (x+3) = 4x: Եթե ցանկանում եք, կարող եք գրել նաև -2x - 6 = 4x:
Քայլ 4. Գտեք ձեր փոփոխականի արժեքը:
Օգտագործեք հանրահաշվական գործողություններ ՝ ձեր հավասարման փոփոխականի արժեքը գտնելու համար: Հիշեք, որ եթե x- ն հայտնվում է հավասարման երկու կողմերում, ապա պետք է գումարեք կամ հանեք x- ի հավասարման երկու կողմերից, որպեսզի x- ն մնա հավասարման միայն մեկ կողմում:
Մեր օրինակում մենք կարող ենք հավասարման երկու կողմերը բաժանել -2 -ի, այնպես որ x+3 = -2x: Երկու կողմերից x- ն հանելը տալիս է 3 = -3x: Ի վերջո, երկու կողմերը բաժանելով -3 -ի, արդյունքը դառնում է -1 = x, որը կարելի է գրել որպես x = -1: Մենք գտել ենք x- ի արժեքը ՝ լուծելով մեր ռացիոնալ հավասարումը:
Մեթոդ 2 -ից 2 -ը ՝ Գտնելով նվազագույն ընդհանուր հայտարարին
Քայլ 1. Իմացեք նույն ամենափոքր հայտարարի օգտագործման ճշգրիտ ժամանակը:
Նույն ամենափոքր հայտարարը կարող է օգտագործվել ռացիոնալ հավասարումները պարզեցնելու համար ՝ դրանք որոնելի դարձնելով փոփոխական արժեքների համար: Ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը գտնելը լավ գաղափար է, եթե ձեր ռացիոնալ հավասարումը չի կարելի հեշտությամբ գրել հավասարման յուրաքանչյուր կողմում մեկ կոտորակի (և միայն մեկ կոտորակի) տեսքով: Երեք կամ ավելի մասերով ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու համար օգտակար է նվազագույն ընդհանուր հայտարարը: Այնուամենայնիվ, միայն երկու մասով ռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար ավելի արագ է կիրառվում խաչաձև արտադրյալը:
Քայլ 2. Ստուգեք յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը:
Նշեք ամենափոքր թիվը, որը յուրաքանչյուր հայտարար կարող է բաժանել և արտադրել մի ամբողջ թիվ: Այս թիվը ձեր հավասարման համար ամենաքիչ ընդհանուր հայտարարն է:
- Երբեմն ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը, այսինքն `ամենափոքր թիվը, որն ունի բոլոր գործոնը հայտարարում, հստակ տեսանելի է: Օրինակ, եթե ձեր հավասարումը x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6 է, դժվար չէ տեսնել ամենափոքր թիվը, որն ունի 3, 2 և 6 գործակից, որը 6 թիվն է:
- Այնուամենայնիվ, հաճախ ռացիոնալ հավասարման նվազագույն ընդհանուր հայտարարը հստակ տեսանելի չէ: Նման դեպքում փորձեք ստուգել ավելի մեծ հայտարարի բազմապատիկները, մինչև չգտնեք մի թիվ, որն ունի մնացած բոլոր փոքր հայտարարների գործակիցը: Հաճախ ամենաքիչ ընդհանուր հայտարարը երկու հայտարարների արտադրյալն է: Օրինակ, x/8 + 2/6 = (x-3)/9 հավասարման մեջ ամենաքիչ ընդհանուր հայտարարը 8*9 = 72 է:
- Եթե ձեր կոտորակի հայտարարներից մեկը կամ մի քանիսը ունենան փոփոխականներ, ապա այս գործընթացը ավելի դժվար է, բայց հնարավոր է անել: Այսպիսի դեպքում ամենաքիչ ընդհանուր հայտարարը հավասարումն է (փոփոխականով), որը բաժանվում է մյուս բոլոր հայտարարների վրա: Օրինակ ՝ հավասարման 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) ամենափոքր ընդհանուր հայտարարն է 3x (x-1), քանի որ ցանկացած հայտարար կարող է բաժանել այն. Բաժանելով (x-1) ՝ տալիս ենք 3x, բաժանելով 3x- ով, տալիս ենք (x-1), իսկ x- ով բաժանելով `3 (x-1):
Քայլ 3. Ռացիոնալ հավասարման յուրաքանչյուր կոտորակ բազմապատկեք 1 -ով:
Յուրաքանչյուր մասի 1 -ով բազմապատկելը անօգուտ է թվում: Բայց ահա հնարքը. 1 -ը կարող է սահմանվել որպես ցանկացած թիվ, որը նույնն է և՛ հաշվիչում, և՛ հայտարարում, օրինակ ՝ -2/2 և 3/3, ինչը 1 -ը գրելու ճիշտ ձևն է: Այս մեթոդը օգտվում է այլընտրանքային սահմանումից: Ձեր ռացիոնալ հավասարման յուրաքանչյուր կոտորակը բազմապատկեք 1 -ով ՝ գրի առնելով 1 թիվը, որը հայտարարի վրա բազմապատկելիս տալիս է ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:
- Մեր հիմնական օրինակում մենք x/3 -ը կբազմապատկենք 2/2 -ով և կստանանք 2x/6, և 1/2 -ը բազմապատկում ենք 3/3 -ով և ստանում ենք 3/6: 2x + 1/6 արդեն ունի նույն ամենափոքր հայտարարը, որը 6 է, այնպես որ կարող ենք այն բազմապատկել 1/1 -ով կամ թողնել հանգիստ:
- Մեր օրինակում ՝ կոտորակի հայտարարի փոփոխականով, գործընթացը մի փոքր ավելի բարդ է: Քանի որ մեր ամենափոքր հայտարարն է 3x (x-1), մենք յուրաքանչյուր ռացիոնալ հավասարումը բազմապատկում ենք մի բանով, որը վերադարձնում է 3x (x-1): Մենք բազմապատկելու ենք 5/(x-1) վրա (3x)/(3x), որը տալիս է 5 (3x)/(3x) (x-1), բազմապատկում ենք 1/x 3-ով (x-1)/3 (x- 1), որը տալիս է 3 (x-1)/3x (x-1), իսկ 2/(3x) -ով (x-1)/(x-1) -ով բազմապատկում է 2 (x-1)/3x (x-1)):
Քայլ 4. Պարզեցրեք և գտեք x- ի արժեքը:
Այժմ, քանի որ ձեր ռացիոնալ հավասարման յուրաքանչյուր մաս ունի նույն հայտարարը, կարող եք ձեր հավասարումից հանել հայտարարիչը և լուծել համարիչի համար: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը ՝ համարիչի արժեքը ստանալու համար: Այնուհետև օգտագործեք հանրահաշվական գործողություններ ՝ հավասարման մի կողմում x (կամ ցանկացած փոփոխական, որը ցանկանում եք լուծել) արժեքը գտնելու համար:
- Մեր հիմնական օրինակում, բոլոր մասերը այլընտրանքային 1 ձևով բազմապատկելուց հետո, մենք ստանում ենք 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6: Երկու կոտորակ կարող է ավելացվել, եթե ունեն նույն հայտարարը, այնպես որ կարող ենք պարզեցնել այս հավասարումը մինչև (2x+3)/6 = (3x+1)/6 ՝ առանց արժեքը փոխելու: Երկու կողմերը բազմապատկեք 6 -ով ՝ հանելով հայտարարը, այնպես որ արդյունքը կլինի 2x+3 = 3x+1: Երկու կողմերից հանեք 1 -ը ՝ ստանալով 2x+2 = 3x, իսկ երկու կողմերից ՝ 2x- ը ՝ ստանալով 2 = x, որը կարելի է գրել որպես x = 2:
- Մեր օրինակում ՝ հայտարարի փոփոխականով, մեր հավասարումը 1-ով բազմապատկելուց հետո դառնում է 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1)) /3x (x-1): Բոլոր մասերը բազմապատկելով նույն ամենափոքր հայտարարի վրա, ինչը թույլ է տալիս մեզ բաց թողնել հայտարարը, դառնում է 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1): Սա վերաբերում է նաև 5x = 3x -3 + 2x -2- ին, ինչը պարզեցնում է 15x = x -5. Երկու կողմերից x- ով հանելը տալիս է 14x = -5, ինչը, ի վերջո, պարզեցնում է x = -5/14:
Խորհուրդներ
- Փոփոխականը լուծելուց հետո ստուգեք ձեր պատասխանը ՝ փոփոխականի արժեքը միացնելով սկզբնական հավասարումին: Եթե ձեր փոփոխականի արժեքը ճիշտ է, կարող եք պարզեցնել ձեր սկզբնական հավասարումը պարզ հայտարարության, որը միշտ հավասար է 1 = 1 -ի:
- Նկատի ունեցեք, որ ցանկացած բազմանդամ կարող եք գրել որպես ռացիոնալ հավասարում. դրեք այն հայտարարից 1: Այսպիսով, x+3 և (x+3)/1 նույն արժեքն ունեն, բայց երկրորդ հավասարումը կարող է դասակարգվել որպես ռացիոնալ հավասարում, քանի որ գրված է որպես կոտորակ:
