Հանրահաշվական արտահայտությունները պարզեցնելու 3 եղանակ

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-15 08:17

Հանրահաշվական արտահայտությունների պարզեցման սովորելը հիմնական հանրահաշվի տիրապետման բանալիներից է և ցանկացած մաթեմատիկոսի անհրաժեշտ ամենաօգտակար գործիքը: Պարզեցումը թույլ է տալիս մաթեմատիկոսներին փոխակերպել բարդ, երկար և (կամ) կենտ արտահայտություններ ավելի պարզ կամ հեշտ համարժեք արտահայտությունների: Հիմնական պարզեցման հմտությունները շատ հեշտ է սովորել, նույնիսկ նրանց համար, ովքեր ատում են մաթեմատիկան: Հետևելով մի քանի պարզ քայլերի ՝ հնարավոր է պարզեցնել հանրահաշվական արտահայտությունների առավել հաճախ օգտագործվող տեսակները ՝ առանց մաթեմատիկայի հատուկ գիտելիքների կիրառման: Սկսելու համար դիտեք Քայլ 1 -ը:

Քայլ

Հասկանալով կարևոր հասկացությունները

Քայլ 1. Խմբավորեք տերմինները ըստ իրենց փոփոխականների և ուժերի:

Հանրահաշվում, նման տերմիններն ունեն նույն փոփոխական կազմաձևը, նույն հզորությամբ: Այլ կերպ ասած, երկու տերմինների հավասար լինելու համար նրանք պետք է ունենան նույն փոփոխականը, կամ ընդհանրապես չունենան փոփոխական, և յուրաքանչյուր փոփոխական ունի նույն հզորությունը կամ ցուցիչ չունի: Փոփոխականների հաջորդականությունը ըստ էության կարևոր չէ:

Օրինակ ՝ 3x² և 4x² նման են տերմիններին, քանի որ երկուսն էլ ունեն քառակուսի հզորությամբ x փոփոխական: Այնուամենայնիվ, x և x² նման չեն տերմինների, քանի որ յուրաքանչյուր տերմին ունի x փոփոխական ՝ տարբեր հզորությամբ: Գրեթե նույնը, -3yx և 5xz տերմիններ չեն, քանի որ յուրաքանչյուր տերմին ունի տարբեր փոփոխական:

Քայլ 2. Գործոնավորեք ՝ թիվը գրելով որպես երկու գործոնների արտադրյալ:

Ֆակտորինգը տվյալ թիվը գրի առնելու հասկացությունն է ՝ որպես բազմապատկվող երկու գործոնների արդյունք: Թվերը կարող են ունենալ մեկից ավելի գործոնների շարք, օրինակ ՝ 12 -ը կարելի է ստանալ 1 × 12 -ից, 2 × 6 -ից և 3 × 4 -ից, ուստի կարող ենք ասել, որ 1, 2, 3, 4, 6 և 12 -ը գործոններ են: 12 Պատկերացնելու մեկ այլ եղանակ այն է, որ թվի գործոններն են թվերը, որոնք բաժանում են ամբողջը:

• Օրինակ, եթե մենք ցանկանայինք գործոն 20, մենք կարող էինք այն գրել որպես 4 × 5.
• Նկատի ունեցեք, որ փոփոխական տերմինները կարող են նաև հաշվի առնվել: -20x, օրինակ, կարելի է գրել որպես 4 (5x).
• Պարզ թվերը հնարավոր չէ հաշվի առնել, քանի որ դրանք կարելի է բաժանել միայն իրենց և 1 -ի:

Քայլ 3. Գործողությունների կարգը հիշելու համար օգտագործեք KaPaK BoTaK հապավումը:

Երբեմն արտահայտության պարզեցումը պարզապես լուծում է հավասարման գործողությունը, մինչև այն այլևս գործարկելի չէ: Այս դեպքերում շատ կարևոր է հիշել գործողությունների կարգը, որպեսզի թվաբանական սխալներ տեղի չունենան: KaPaK BoTaK հապավումը կօգնի ձեզ հիշել գործողությունների կարգը. Տառերը նշում են այն գործողությունների տեսակները, որոնք դուք պետք է կատարեք ՝ ըստ հերթականության.

• Կ ձախողվել
• Պ բարձրացնել
• Կ ալի
• Բ կրկին
• Տ ավելացնել
• Կ ծովախեցգետին

Մեթոդ 1-ից 3-ը. Միավորել նման պայմանները

Քայլ 1. Գրեք ձեր հավասարումը:

Ամենապարզ հանրահաշվական հավասարումները, որոնք ներառում են ընդամենը մի քանի փոփոխական տերմիններ ՝ ամբողջ գործակիցներով և առանց կոտորակների, արմատների և այլն, հաճախ կարող են լուծվել ընդամենը մի քանի քայլով: Մաթեմատիկական խնդիրների մեծ մասի համար ձեր հավասարումը պարզեցնելու առաջին քայլը դա գրելն է:

Որպես խնդրի օրինակ ՝ հաջորդ մի քանի քայլերի համար մենք օգտագործում ենք արտահայտությունը 1 + 2x - 3 + 4x.

Քայլ 2. Բացահայտեք նմանատիպ ցեղեր:

Հաջորդը, ձեր հավասարման մեջ փնտրեք նման տերմիններ: Հիշեք, որ նման տերմիններն ունեն նույն փոփոխականն ու ցուցիչը:

Օրինակ, եկեք նույնականացնենք մեր հավասարման 1 + 2x - 3 + 4x տերմինները: 2x և 4x երկուսն էլ ունեն նույն հզորությամբ նույն փոփոխականը (այս դեպքում x- ը ցուցիչ չունի): Բացի այդ, 1 -ը և -3 -ը նման են տերմինների, քանի որ դրանք չունեն փոփոխականներ: Այսպիսով, մեր հավասարման մեջ, 2x և 4x եւ 1 և -3 նման ցեղեր են:

Քայլ 3. Միավորել նման տերմինները:

Այժմ, երբ դուք նույնականացրել եք նման տերմիններ, կարող եք դրանք համատեղել ՝ ձեր հավասարումը պարզեցնելու համար: Ավելացրեք պայմանները (կամ հանեք բացասական տերմինների դեպքում) `նույն փոփոխականով և արտահայտիչ տերմինների կրճատումը մեկ հավասար տերմինի համար:

• Եկեք ավելացնենք նման տերմիններ մեր օրինակում:

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Քայլ 4. Ստեղծեք ավելի պարզ հավասարում պարզեցված տերմիններից:

Ձեր նման տերմինները համատեղելուց հետո հավասարություն կազմեք նոր, ավելի փոքր տերմինների շարքից: Դուք կստանաք ավելի պարզ հավասարում, որն ունի մեկ տերմին `սկզբնական հավասարման տարբեր փոփոխականների և հզորությունների համար: Այս նոր հավասարումը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը:

Մեր օրինակում մեր պարզեցված տերմինները 6x և -2 են, ուստի մեր նոր հավասարումը 6x - 2. Այս պարզ հավասարումը համարժեք է բնօրինակին (1 + 2x - 3 + 4x), բայց ավելի կարճ և ավելի հեշտ է աշխատել: Նաև ավելի հեշտ է գործոնավորելը, որը մենք կանդրադառնանք ստորև, ինչը պարզեցման ևս մեկ կարևոր հմտություն է:

Քայլ 5. Նման տերմիններ համատեղելիս հետևեք գործողությունների կարգին:

Շատ պարզ հավասարումների դեպքում, ինչպիսին մենք աշխատել ենք վերը նշված խնդրի դեպքում, նման տերմինների նույնականացումը հեշտ է: Այնուամենայնիվ, ավելի բարդ հավասարումներում, ինչպիսիք են փակագծային տերմիններ, կոտորակներ և արմատներ պարունակող արտահայտությունները, ինչպես տերմինները, որոնք կարելի է համատեղել, կարող են հստակ տեսանելի չլինել: Այս դեպքերում հետևեք գործողությունների կարգին ՝ ըստ անհրաժեշտության գործողություններ կատարելով ձեր արտահայտության պայմաններով, մինչև մնան գումարման և հանման գործողությունները:

• Օրինակ, եկեք օգտագործենք 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 հավասարումը - 3x: Սխալ կլինի միանգամից 3x և 2x տերմիններ համարելը և դրանք համատեղելը, քանի որ արտահայտության մեջ փակագծերը ցույց են տալիս, որ նախ պետք է այլ գործողություններ կատարել: Նախ, մենք կատարում ենք թվաբանական գործողություններ գործողությունների կարգի արտահայտության վրա, որպեսզի ստանանք տերմիններ, որոնք կարող ենք օգտագործել: Տես հետևյալը.

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x Այժմ, քանի որ միակ գործողությունները գումարումն ու հանումն են, մենք կարող ենք միավորել նման տերմիններ:
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Մեթոդ 2 3 -ից. Ֆակտորինգ

Քայլ 1. Նշեք արտահայտության ամենամեծ ընդհանուր գործոնը:

Ֆակտորինգը արտահայտությունը պարզեցնելու միջոց է ՝ հեռացնելով այն գործոնները, որոնք նույնն են արտահայտության մեջ: Սկսելու համար գտեք բոլոր ընդհանուր տերմինների ամենամեծ ընդհանուր գործոնը, այլ կերպ ասած ՝ ամենամեծ արտահայտությունը, որը բաժանում է ամբողջ արտահայտության ամբողջ տերմինը:

• Եկեք օգտագործենք 9x հավասարումը² + 27x - 3. Նկատի ունեցեք, որ այս հավասարման յուրաքանչյուր տերմին բաժանվում է 3 -ի: Քանի որ տերմինները չեն բաժանվում ավելի մեծ թվերի, մենք կարող ենք ասել, որ

  Քայլ 3. դա մեր ամենամեծ ընդհանուր գործոնն է:

Քայլ 2. Արտահայտության տերմինները բաժանեք ամենամեծ ընդհանուր գործոնով:

Հաջորդը, ձեր հավասարման յուրաքանչյուր տերմին բաժանեք ձեր գտած ամենամեծ ընդհանուր գործոնի վրա: Գործակիցի տերմինները կունենան ավելի փոքր գործակից, քան սկզբնական հավասարումը:

• Եկեք գործոնենք մեր հավասարումը նրա ամենամեծ ընդհանուր գործոնով `3. Դրա համար մենք յուրաքանչյուր տերմին կբաժանենք 3 -ի:

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Այսպիսով, մեր նոր արտահայտությունն է 3x² + 9x - 1.

Քայլ 3. Գրեք ձեր արտահայտությունը որպես ամենամեծ ընդհանուր գործոնի արտադրյալ `բազմապատկված մնացած տերմիններով:

Ձեր նոր արտահայտությունը համարժեք չէ ձեր սկզբնական արտահայտությանը, ուստի սխալ կլինի ասել, որ արտահայտությունը պարզեցվել է: Մեր նոր արտահայտությունը բնագրին հավասար դարձնելու համար մենք պետք է ներառենք այն փաստը, որ մեր արտահայտությունը բաժանված է ամենամեծ ընդհանուր գործոնով: Փակագծերում փակիր քո նոր արտահայտությունը և գրի՛ր սկզբնական հավասարման ամենամեծ ընդհանուր գործոնը որպես փակագծերում արտահայտության գործակից:

Մեր օրինակի հավասարման համար ՝ 3x² + 9x - 1, մենք կարող ենք փակագծում ընդգրկել արտահայտությունը և այն բազմապատկել սկզբնական հավասարման ամենամեծ ընդհանուր գործոնով `ստանալու համար 3 (3x² + 9x - 1). Այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը ՝ 9x² +27x - 3

Քայլ 4. Կոտորակները պարզեցնելու համար օգտագործիր ֆակտորինգը:

Դուք այժմ կարող եք մտածել, թե ինչու է օգտագործվում ֆակտորինգը, եթե նույնիսկ ամենամեծ ընդհանուր գործոնը հեռացնելուց հետո նոր արտահայտությունը նորից պետք է բազմապատկվի այդ գործոնով: Փաստորեն, ֆակտորինգը թույլ է տալիս մաթեմատիկոսներին կատարել տարբեր հնարքներ `արտահայտությունները պարզեցնելու համար: Նրա ամենահեշտ հնարքներից մեկն օգտվում է այն հանգամանքից, որ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը նույն թվով բազմապատկելը կարող է համարժեք կոտորակներ առաջացնել: Տես հետևյալը.

• Ասեք մեր սկզբնական օրինակ արտահայտությունը ՝ 9x² + 27x - 3, ավելի մեծ կոտորակի քվանտիկատոր է, որի համարիչ է 3 -ը: Կոտորակն այսպիսի տեսք կունենա. (9x² + 27x - 3)/3: Ֆակտորինգը կարող ենք օգտագործել կոտորակները պարզեցնելու համար:

  • Եկեք փոխարինենք մեր սկզբնական արտահայտության ֆակտորինգային ձևը համարիչով արտահայտության համար. (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Ուշադրություն դարձրեք, որ այժմ և՛ համարիչը, և՛ հայտարարն ունեն 3 գործակից: Հաշվիչն ու հայտարարը բաժանելով 3 -ի ՝ ստանում ենք. (3x² + 9x - 1)/1:
  • Քանի որ 1 -ի հայտարար ունեցող կոտորակը համարժեք է համարիչի պայմաններին, կարող ենք ասել, որ մեր սկզբնական կոտորակը կարելի է պարզեցնել 3x² + 9x - 1.

Մեթոդ 3 3 -ից. Լրացուցիչ պարզեցման հմտությունների կիրառում

Քայլ 1. Պարզեցրեք կոտորակները ՝ բաժանելով նույն գործոններով:

Ինչպես նշվեց վերևում, եթե հավասարման համարիչն ու հայտարարն ունեն նույն գործոնները, ապա այդ գործոնները կարող են ամբողջությամբ բաց թողնվել կոտորակում: Երբեմն դա կպահանջի ֆակտորինգ համարիչով, հայտարարով կամ երկուսով (ինչպես դա տեղի է ունենում վերևի խնդրի դեպքում), իսկ երբեմն նույն գործոնները հաճախ ակնհայտ են: Նկատի ունեցեք, որ պարզ արտահայտություն ստանալու համար հնարավոր է նաև համարիչի պայմանները բաժանարարի հավասարության վրա բաժանել մեկ առ մեկ:

• Եկեք աշխատենք մի օրինակի վրա, որը չի պահանջում ֆակտորինգ: Կոտորակների համար (5x² + 10x + 20)/10, մենք կարող ենք համարիչում յուրաքանչյուր տերմին բաժանել 10 -ի ՝ պարզեցնելու համար, նույնիսկ եթե գործակիցը 5 -ը 5x- ում² 10 -ից ոչ մեծ է, ուստի 10 -ը գործոն չէ:

  Եթե դա անենք, մենք կստանանք ((5x²)/10) + x + 2. Եթե ցանկանայինք, կարող էինք առաջին տերմինը վերաշարադրել որպես (1/2) x² Այսպիսով, մենք ստանում ենք (1/2) x² +x+2

Քայլ 2. Օգտագործեք քառակուսի գործոնները `արմատները պարզեցնելու համար:

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է արմատային արտահայտություն: Այս արտահայտությունը կարող է պարզեցվել ՝ բացահայտելով քառակուսի գործոնները (գործոններ, որոնք ամբողջ թվերի քառակուսիներ են) և առանձին կատարելով քառակուսի արմատ գործողությունը ՝ դրանք քառակուսի արմատային նշանի տակից հանելու համար:

• Եկեք կատարենք մի պարզ օրինակ `(90): Եթե 90 -ը համարենք նրա երկու գործոնների ՝ 9 -ի և 10 -ի արտադրյալը, կարող ենք վերցնել 9 -ի քառակուսի արմատը, որը 3 -ի ամբողջ թիվն է և հեռացնել այն արմատական նշանից: Այլ կերպ ասած:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Քայլ 3. Երկու ցուցիչ բազմապատկելիս ավելացրեք ցուցիչներ. հանելիս բաժանելիս:

Որոշ հանրահաշվական արտահայտություններ պահանջում են ուժի տերմինների բազմապատկում կամ բաժանում: Յուրաքանչյուր ցուցիչին ձեռքով հաշվարկելու կամ բաժանելու փոխարեն պարզապես ավելացրեք բազմապատկման ժամանակ ցուցիչները և ժամանակի խնայելու համար հանեք բաժանման ժամանակ: Այս հասկացությունը կարող է օգտագործվել նաև փոփոխական արտահայտությունները պարզեցնելու համար:

• Օրինակ, օգտագործենք 6x արտահայտությունը³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵): Ամեն դեպքում, երբ ցուցիչների բազմապատկում կամ բաժանում է պահանջվում, մենք համապատասխանաբար հանում կամ ավելացնում ենք ցուցիչներ ՝ պարզ տերմինը արագ գտնելու համար: Տես հետևյալը.

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Այն բացատրելու համար, թե ինչպես է այն աշխատում, տե՛ս ստորև.

  • Տերմինների բազմապատկումը ցուցիչների մեջ իրականում նման է տերմինների բազմապատկմանը ոչ երկար ցուցիչների վրա: Օրինակ, քանի որ x³ = x × x × x և x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), կամ x⁸.
  • Գրեթե նույնը, ցուցիչների բաժանելը նման է տերմինների բաժանման, այլ ոչ թե երկար ցուցիչների: x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x): Քանի որ համարիչի յուրաքանչյուր տերմին կարելի է հատել ՝ հայտարարի մեջ գտնելով նույն տերմինը, հաշվիչում մնացել է ընդամենը երկու x և ներքևում ոչինչ չի մնացել ՝ տալով պատասխանը x².

Խորհուրդներ

• Միշտ հիշեք, որ այս թվերը պետք է պատկերացնեք որպես դրական և բացասական նշաններ: Շատերը դադարում են մտածել, թե ինչ նշան պետք է դնեմ այստեղ:
• Անհրաժեշտության դեպքում օգնություն խնդրեք:
• Հանրահաշվական արտահայտությունների պարզեցումը հեշտ չէ, բայց երբ դա հասկանաք, այն կօգտագործեք ձեր ողջ կյանքի ընթացքում:

Գուշացում

• Միշտ փնտրեք նմանատիպ ցեղեր և մի խաբվեք աստիճանի վրա:
• Համոզվեք, որ չեք ավելացնում թվեր, լիազորություններ կամ գործողություններ, որոնք չպետք է ակամա լինեն: