Արմատային ձևը հանրահաշվական հայտարարություն է, որն ունի քառակուսի արմատի նշան (կամ խորանարդի արմատ կամ ավելի բարձր): Այս ձևը հաճախ կարող է ներկայացնել երկու արժեք, որոնք ունեն նույն արժեքը, չնայած առաջին հայացքից կարող են տարբեր լինել (օրինակ ՝ 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1): Հետևաբար, մեզ անհրաժեշտ է «ստանդարտ բանաձև» այս տեսակի ձևի համար: Եթե կան երկու հայտարարություններ, երկուսն էլ ստանդարտ բանաձևում, որոնք տարբեր են թվում, դրանք նույնը չեն: Մաթեմատիկոսները համաձայն են, որ քառակուսի ձևի ստանդարտ ձևակերպումը բավարարում է հետևյալ պահանջները.
- Խուսափեք կոտորակներ օգտագործելուց
- Մի օգտագործեք կոտորակային ուժեր
- Խուսափեք հայտարարի արմատային ձևի օգտագործումից
- Չի պարունակում երկու արմատային ձևերի բազմապատկում
- Արմատի տակ գտնվող թվերն այլևս չեն կարող արմատավորվել
Դրա գործնական կիրառումը բազմակի ընտրության քննություններին է: Երբ պատասխան եք գտնում, բայց ձեր պատասխանը նույնը չէ, ինչ առկա տարբերակներն են, փորձեք այն պարզեցնել ստանդարտ բանաձևի: Քանի որ հարց տվողները սովորաբար պատասխանը գրում են ստանդարտ բանաձևերով, նույնը արեք ձեր պատասխանների հետ `իրենց պատասխաններին համապատասխան: Էսսե հարցերում այնպիսի հրամաններ, ինչպիսիք են «պարզեցնել ձեր պատասխանը» կամ «պարզեցնել բոլոր արմատները», նշանակում է, որ ուսանողները պետք է կատարեն հետևյալ քայլերը, մինչև չհամապատասխանեն վերը նշված ստանդարտ բանաձևին: Այս քայլը կարող է օգտագործվել նաև հավասարումներ լուծելու համար, չնայած որոշ տիպի հավասարումներ ավելի հեշտ է լուծել ոչ ստանդարտ բանաձևերում:
Քայլ
Քայլ 1. Անհրաժեշտության դեպքում վերանայեք գործող արմատների և ցուցիչների կանոնները (երկուսն էլ հավասար են. Արմատները կոտորակների ուժերն են), քանի որ դրանք մեզ պետք են այս գործընթացում:
Վերանայեք նաև բազմանդամների և ռացիոնալ ձևերի պարզեցման կանոնները, քանի որ դրանք պարզեցնելու կարիք կունենանք:
Մեթոդ 1 6 -ից. Կատարյալ քառակուսիներ
Քայլ 1. Պարզեցրեք կատարյալ քառակուսիներ պարունակող բոլոր արմատները:
Կատարյալ քառակուսին ինքնին մի թվի արտադրյալ է, օրինակ ՝ 81, որը 9 x 9 -ի արտադրյալ է: Կատարյալ քառակուսին պարզեցնելու համար պարզապես հանեք քառակուսի արմատը և գրեք թվի քառակուսի արմատը:
- Օրինակ, 121 -ը կատարյալ քառակուսի է, քանի որ 11 x 11 -ը հավասար է 121. Այսպիսով, դուք կարող եք պարզեցնել արմատը (121) մինչև 11 -ը ՝ հեռացնելով արմատային նշանը:
- Այս քայլն ավելի դյուրին դարձնելու համար հարկավոր է հիշել առաջին տասներկու կատարյալ քառակուսիները ՝ 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Քայլ 2. Պարզեցրեք կատարյալ խորանարդներ պարունակող բոլոր արմատները:
Կատարյալ խորանարդը մի թիվ երկու անգամ բազմապատկելու արդյունք է, օրինակ ՝ 27, որը 3 x 3 x 3 -ի արտադրյալն է: Կատարյալ խորանարդի արմատային ձևը պարզեցնելու համար պարզապես հեռացրեք քառակուսի արմատը և գրեք քառակուսի արմատը: թվից:
Օրինակ, 343 -ը կատարյալ խորանարդ է, քանի որ այն 7 x 7 x 7 -ի արտադրյալն է: Այսպիսով, 343 -ի խորանարդի արմատը 7 է:
Մեթոդ 2 6 -ից. Կոտորակները արմատների փոխարկելը
Կամ հակառակը փոխելը (երբեմն օգնում է), բայց դրանք մի խառնեք նույն հայտարարության մեջ, ինչպես արմատը (5) + 5^(3/2): Ենթադրենք, որ դուք ցանկանում եք օգտագործել արմատային ձևը, և մենք կօգտագործենք քառակուսի արմատի արմատ (n), իսկ խորանարդի համար ՝ sqrt^3 (n):
Քայլ 1. Մեկը վերցրեք կոտորակի հզորության և փոխարկեք այն արմատային ձևի, օրինակ ՝ x^(a/b) = արմատը x^a- ի b հզորության:
Եթե քառակուսի արմատը կոտորակի տեսքով է, փոխարկեք այն սովորականի: Օրինակ, քառակուսի արմատը (2/3) 4 -ից = արմատ (4)^3 = 2^3 = 8:
Քայլ 2. Բացասական ցուցիչները վերածիր կոտորակների, օրինակ ՝ x^-y = 1/x^y
Այս բանաձևը վերաբերում է միայն մշտական և ռացիոնալ ցուցիչներին: Եթե գործ ունեք 2^x ձևի հետ, մի փոխեք այն, նույնիսկ եթե խնդիրը ցույց է տալիս, որ x- ը կարող է լինել կոտորակ կամ բացասական թիվ:
Քայլ 3. Միավորել նույն ցեղը և պարզեցնել ստացված ռացիոնալ ձևը:
Մեթոդ 3 6 -ից. Արմատներով կոտորակների վերացում
Ստանդարտ բանաձևը պահանջում է, որ արմատը լինի ամբողջ թիվ:
Քայլ 1. Նայիր քառակուսի արմատի տակ գտնվող թվին, եթե այն դեռ կոտորակ է պարունակում:
Եթե դեռ,…
Քայլ 2. Փոխեք երկու արմատից բաղկացած կոտորակի ՝ օգտագործելով նույնական արմատը (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b):
Մի օգտագործեք այս ինքնությունը, եթե հայտարարը բացասական է, կամ եթե դա փոփոխական է, որը կարող է բացասական լինել: Այս դեպքում նախ պարզեցրեք կոտորակը:
Քայլ 3. Պարզեցրեք արդյունքի յուրաքանչյուր կատարյալ քառակուսին:
Այսինքն ՝ փոխարկել sqrt (5/4) sqrt (5)/sqrt (4), այնուհետև պարզեցնել sqrt (5)/2:
Քայլ 4. Օգտագործեք պարզեցման այլ մեթոդներ, ինչպիսիք են պարզ կոտորակների պարզեցումը, հավասար պայմանների համատեղումը և այլն:
Մեթոդ 4 6 -ից. Բազմապատկման արմատների համակցում
Քայլ 1. Եթե դուք արմատային ձևը բազմապատկում եք մյուսով, միացրեք երկուսը մեկ քառակուսի արմատում ՝ օգտագործելով բանաձևը
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) Օրինակ ՝ արմատը (2)*արմատը (6) փոխեք արմատի (12):
- Վերը նշված ինքնությունը ՝ sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), վավեր է, եթե sqrt նշանի տակ գտնվող թիվը բացասական չէ: Մի օգտագործեք այս բանաձևը, երբ a- ն և b- ն բացասական են, քանի որ սխալ թույլ կտաք կատարել sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1): Ձախ կողմի հայտարարությունը հավասար է -1 -ի (կամ չսահմանված է, եթե բարդ թվեր չեք օգտագործում), մինչդեռ աջ կողմում նշվածը +1 է: Եթե a և/կամ b բացասական են, նախ նշանը «փոխեք» sqrt (-5) = i*sqrt (5) պես: Եթե արմատային նշանի տակ գտնվող ձևը փոփոխական է, որի նշանը համատեքստից անհայտ է կամ կարող է լինել դրական կամ բացասական, թողեք այն այս պահին: Դուք կարող եք օգտագործել ավելի ընդհանուր ինքնությունը ՝ sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), որը վերաբերում է a և b բոլոր իրական թվերին, բայց սովորաբար այս բանաձևը շատ չի օգնում, քանի որ այն բարդություն է հաղորդում sgn (signum) գործառույթի օգտագործման վրա:
- Այս ինքնությունը վավեր է միայն այն դեպքում, եթե արմատների ձևերն ունեն նույն ցուցիչը: Դուք կարող եք բազմապատկել տարբեր քառակուսի արմատներ, ինչպիսիք են sqrt (5)*sqrt^3 (7) ՝ դրանք վերածելով նույն քառակուսի արմատի: Դա անելու համար ժամանակավորապես փոխարկեք քառակուսի արմատը կոտորակի. Sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6) Այնուհետեւ օգտագործեք բազմապատկման կանոնը `երկուսը բազմապատկելու համար 6125 -ի քառակուսի արմատին:
Մեթոդ 5 -ից 6 -ը. Քառակուսի գործոնի արմատից հեռացում
Քայլ 1. Անկատար արմատները հիմնական գործոնների վերածելը:
Գործակիցը մի թիվ է, որը մեկ այլ թվով բազմապատկելիս ձևավորում են թիվ. Օրինակ ՝ 5 -ը և 4 -ը 20 -ի երկու գործոններն են: Անկատար արմատները քանդելու համար գրի առեք թվի բոլոր գործոնները (կամ որքան հնարավոր է, եթե թիվը չափազանց մեծ է), քանի դեռ չեք գտել կատարյալ քառակուսի:
Օրինակ ՝ փորձեք գտնել 45: 1, 3, 5, 9, 15 և 45 -ի բոլոր գործոնները: 9 -ը 45 գործակից է և նույնպես կատարյալ քառակուսի է (9 = 3^2): 9 x 5 = 45:
Քայլ 2. Հեռացրեք բոլոր բազմապատկիչները, որոնք կատարյալ քառակուսիներ են քառակուսի արմատից:
9 -ը կատարյալ քառակուսի է, քանի որ այն 3 x 3 -ի արդյունքն է: Քառակուսի արմատից հանեք 9 -ը և այն փոխարինեք 3 -ով քառակուսի արմատից առաջ ՝ թողնելով 5 քառակուսի արմատի ներսում: Եթե 3 -ը «հետ եք դնում» քառակուսի արմատի մեջ, բազմապատկեք ինքն իրենով և կազմեք 9, իսկ եթե բազմապատկեք 5 -ով, այն կստանա 45: 5 -ի 3 արմատները 45 -ի արմատը արտահայտելու պարզ միջոց է:
Այսինքն ՝ sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5):
Քայլ 3. Փոփոխականի մեջ գտիր կատարյալ քառակուսին:
Քառակուսի քառակուսի արմատն է | a |. Եթե հայտնի փոփոխականը դրական է, կարող եք այն պարզեցնել «ա» -ով: A- ի քառակուսի արմատը 3 -ի հզորության դեպքում, երբ բաժանվում է քառակուսի անգամ a- քառակուսի արմատին - հիշեք, որ ցուցիչները գումարվում են, երբ երկու թիվը բազմապատկում ենք a- ի հզորությանը, այնպես որ քառակուսի անգամ a- ը հավասար է a- ի երրորդ ուժ.
Հետևաբար, խորանարդաձև տեսքով կատարյալ քառակուսին քառակուսի է:
Քայլ 4. Հեռացրեք կատարյալ քառակուսին պարունակող փոփոխականին քառակուսի արմատից:
Այժմ, քառակուսի արմատից վերցրեք քառակուսին և փոխեք այն | a |. 3 -ի հզորության a արմատի պարզ ձևը | a | արմատ ա.
Քայլ 5. Միավորել հավասար պայմանները և պարզեցնել հաշվարկման արդյունքների բոլոր արմատները:
Մեթոդ 6 -ից 6 -ից. Ռացիոնալացրեք հայտարարին
Քայլ 1. Ստանդարտ բանաձևը պահանջում է, որ հայտարարը հնարավորինս լինի ամբողջ թիվ (կամ բազմիմաստ, եթե այն պարունակում է փոփոխական):
-
Եթե հայտարարը բաղկացած է մեկ տերմինից ՝ արմատային նշանի տակ, օրինակ ՝ […]/արմատ (5), ապա բազմապատկեք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը այդ արմատով ՝ ստանալու […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*արմատ (5)/5.
Խորանարդի կամ ավելի բարձր արմատների համար բազմապատկեք համապատասխան արմատով, որպեսզի հայտարարը ռացիոնալ լինի: Եթե հայտարարը արմատ է^3 (5), ապա համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք քառակուսի^3 (5)^2 -ով:
-
Եթե հայտարարը բաղկացած է երկու քառակուսի արմատներ ավելացնելուց կամ հանելուց, ինչպիսիք են sqrt (2) + sqrt (6), ապա մեծացուցիչն ու հայտարարը բազմապատկեք նրանց զուգորդվածով, որը նույն ձևն է, բայց հակառակ նշանով: Այնուհետև […]/(արմատ (2) + արմատ (6)) = […] (արմատ (2) -արոտ (6))/(արմատ (2) + արմատ (6)) (արմատ (2) -արոտ (6)): Այնուհետև օգտագործեք երկու քառակուսիների [(a + b) (ab) = a^2-b^2] տարբերության նույնականացման բանաձևը ՝ հայտարարը ռացիոնալացնելու, պարզեցնելու համար (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4:
- Սա վերաբերում է նաև 5 + sqrt (3) հայտարարներին, քանի որ բոլոր ամբողջ թվերը այլ ամբողջ թվերի արմատներ են: [1/(5 + քառակուսի (3)) = (5 քառակուսի (3))/(5 + քառակուսի (3)) (5 քառակուսի (3)) = (5 քառակուսի (3))/(5^ 2 քառակուսի (3)^2) = (5 քառակուսի (3))/(25-3) = (5 քառակուսի (3))/22]
- Այս մեթոդը վերաբերում է նաև արմատների ավելացմանը, ինչպիսիք են sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7): Եթե դրանք խմբավորեք (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) և բազմապատկեք (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) -ով, ապա պատասխանը ոչ թե ռացիոնալ տեսքով է, այլ դեռ a+b*արմատում (30), որտեղ a և b արդեն ռացիոնալ թվեր են: Այնուհետև կրկնել գործընթացը a+b*sqrt (30) և (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) զուգորդվածներով ռացիոնալ կլինի: Ըստ էության, եթե կարողանաք օգտագործել այս հնարքը հայտարարի մեջ մեկ արմատային նշանը հեռացնելու համար, ապա այն կարող եք կրկնել բազմիցս ՝ բոլոր արմատները հեռացնելու համար:
- Այս մեթոդը կարող է օգտագործվել նաև այն հայտարարների համար, որոնք պարունակում են ավելի բարձր արմատ, օրինակ `3 -ի չորրորդ արմատը կամ 9 -ի յոթերորդ արմատը: Բազմապատկեք համարիչն ու հայտարարը` հայտարարի զուգորդվածով: Unfortunatelyավոք, մենք չենք կարող ուղղակիորեն ստանալ հայտարարի հոլովը և դժվար է դա անել: Պատասխանը կարող ենք գտնել թվերի տեսության հանրահաշվի գրքում, բայց ես դրան չեմ անդրադառնա:
Քայլ 2. Այժմ հայտարարը ռացիոնալ վիճակում է, բայց համարիչը խառնաշփոթ է թվում:
Այժմ մնում է միայն այն բազմապատկել հայտարարի հոլովով: Շարունակեք և բազմապատկեք այնպես, ինչպես մենք բազմապատկած կլինեինք: Ստուգեք ՝ արդյոք հնարավորության դեպքում հնարավոր է բաց թողնել, պարզեցնել կամ համատեղել որևէ պայման:
Քայլ 3. Եթե հայտարարը բացասական ամբողջ թիվ է, ապա համարիչը և հայտարարը բազմապատկիր -1 -ով `այն դրական դարձնելու համար:
Խորհուրդներ
- Դուք կարող եք առցանց որոնել կայքեր, որոնք կարող են օգնել պարզեցնել արմատային ձևերը: Պարզապես մուտքագրեք հավասարումը արմատային նշանով, և Enter սեղմելուց հետո պատասխանը կհայտնվի:
- Ավելի պարզ հարցերի համար դուք չեք կարող օգտագործել այս հոդվածի բոլոր քայլերը: Ավելի բարդ հարցերի դեպքում կարող է անհրաժեշտ լինել մեկից ավելի անգամ օգտագործել մի քանի քայլ: Մի քանի անգամ օգտագործեք «պարզ» քայլերը և ստուգեք ՝ արդյոք ձեր պատասխանը համապատասխանում է այն ստանդարտ ձևակերպման չափանիշներին, որոնք մենք քննարկեցինք ավելի վաղ: Եթե ձեր պատասխանը ստանդարտ բանաձևում է, դուք ավարտված եք. բայց եթե ոչ, կարող եք ստուգել վերը նշված քայլերից մեկը, որը կօգնի ձեզ դա անել:
- Արմատների ձևի «առաջարկվող ստանդարտ բանաձևին» հղումների մեծ մասը վերաբերում է նաև բարդ թվերին (i = արմատ (-1)): Նույնիսկ եթե հայտարարությունը արմատի փոխարեն պարունակում է «i», ապա հնարավորինս խուսափեք այն հայտարարներից, որոնք դեռ պարունակում են i:
- Այս հոդվածի որոշ հրահանգներ ենթադրում են, որ բոլոր արմատները քառակուսիներ են: Նույն ընդհանուր սկզբունքները վերաբերում են ավելի բարձր տերությունների արմատներին, չնայած որոշ մասերի (հատկապես հայտարարողի ռացիոնալացումը) հետ աշխատելը կարող է բավականին դժվար լինել: Ինքներդ որոշեք, թե ինչ ձև եք ուզում, օրինակ ՝ sqr^3 (4) կամ sqr^3 (2)^2: (Չեմ հիշում, թե դասագրքերում սովորաբար ինչ ձև է առաջարկվում):
- Այս հոդվածի որոշ հրահանգներ օգտագործում են «ստանդարտ բանաձև» բառը `« կանոնավոր ձևը »նկարագրելու համար: Տարբերությունն այն է, որ ստանդարտ բանաձևը ընդունում է միայն 1+sqrt (2) կամ sqrt (2) +1 ձևը և մյուս ձևերը համարում է ոչ ստանդարտ; Պարզ ձևը ենթադրում է, որ դու ՝ ընթերցողդ, բավական խելացի ես ՝ տեսնելու այս երկու թվերի «նմանությունը», չնայած գրավոր նույնական չեն («թվային» հատկության մեջ նշանակում է «նույն», այլ ոչ թե հանրահաշվական հատկություն (արմատ) (2) արմատը ոչ բացասական է x^2-2)): Հուսով ենք, որ ընթերցողները կհասկանան այս տերմինաբանության օգտագործման փոքր անզգուշությունը:
- Եթե հուշումներից որևէ մեկը երկիմաստ կամ հակասական է թվում, կատարեք միանշանակ և հետևողական բոլոր քայլերը, այնուհետև ընտրեք ձեր նախընտրած ձևը:
