Պյութագորասի թեորեմը էլեգանտ և գործնական կերպով նկարագրում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարությունները, ուստի այս թեորեմը այսօր էլ լայնորեն կիրառվում է: Այս թեորեմը նշում է, որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյունու համար ոչ անկյան կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուզայի քառակուսուն: Այլ կերպ ասած, ուղղանկյուն եռանկյունի համար a և b և c հիպոթենուսով, ա2 + բ2 = գ2.
Պյութագորասի թեորեմը տարրական երկրաչափության հիմնական սյուներից մեկն է: Այս թեորեմը օգտագործող անհամար ծրագրեր կան, օրինակ ՝ կոորդինատային հարթության վրա երկու կետերի միջև հեռավորությունը հեշտ գտնելու համար:
Քայլ
Մեթոդ 1 -ը ՝ 2 -ից. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի որոնում
Քայլ 1. Համոզվեք, որ ձեր եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:
Պյութագորասի թեորեմը վերաբերում է միայն ուղղանկյուն եռանկյունիներին, ուստի, նախքան շարունակելը, շատ կարևոր է համոզվել, որ ձեր եռանկյունները համապատասխանում են ուղղանկյուն եռանկյունների հատկություններին: Բարեբախտաբար, կա մեկ գործոն, որը կարող է ցույց տալ, որ ձեր եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ձեր եռանկյունին պետք է ունենա 90 աստիճանի անկյուն:
Որպես նշան, ուղղանկյուն եռանկյունիները հաճախ նշվում են փոքր քառակուսիներով `90 աստիճանի անկյունները նշելու համար, չօգտագործելով կոր« կորեր »: Փնտրեք այս հատուկ նշանը ձեր եռանկյունու անկյունում:
Քայլ 2. Տվեք a, b և c փոփոխականները ձեր եռանկյունու կողմերի համար:
Պյութագորասի թեորեմում a և b փոփոխականները ներկայացնում են այն կողմերը, որոնք հանդիպում են ուղղանկյուն եռանկյունու մոտ, մինչդեռ c փոփոխականը ներկայացնում է հիպոթենուսը ՝ երկար կողմը ՝ ուղղանկյուն անկյան հակառակ: Այսպիսով, սկսելու համար նշեք ձեր եռանկյունու կարճ կողմերը a և b փոփոխականներով (նշանակություն չունի դրանք փոխանակեք) և հիպոթենուզը նշեք c փոփոխականով:
Քայլ 3. Որոշեք եռանկյունու որ կողմն եք ցանկանում լուծել:
Պյութագորասի թեորեմը թույլ է տալիս մաթեմատիկոսներին գտնել ուղղանկյուն եռանկյան ցանկացած կողմի երկարությունը, քանի դեռ նրանք գիտեն մյուս երկու կողմերի երկարությունները: Որոշեք, թե որ կողմն է անհայտ `a, b և/կամ c: Եթե ձեր կողմերից մեկի երկարությունը անհայտ է, ապա պատրաստ եք առաջ շարժվել:
- Օրինակ, մենք գիտենք, որ եռանկյունու հիպոթենուսի երկարությունը 5 է, իսկ մյուս կողմերից մեկի երկարությունը ՝ 3, բայց մենք վստահ չենք երրորդ կողմի երկարությանը: Այս դեպքում մենք գիտենք, որ մենք փնտրում ենք երրորդ կողմի երկարությունը, և քանի որ գիտենք մյուս երկուսի երկարությունները, կարող ենք լուծել այն: Այս խնդրի վրա մենք կաշխատենք հետևյալ քայլերով:
- Եթե չգիտեք երկու կողմերի երկարությունները, ապա պետք է իմանաք կողմերից մեկը, որպեսզի կարողանաք օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը: Եռանկյունաչափական հիմնական գործառույթները կարող են օգնել ձեզ, եթե գիտեք եռանկյան մի կողմը, որը թեքված չէ:
Քայլ 4. Միացրեք արդեն իսկ իմացած երկկողմանի արժեքները հավասարման մեջ:
Միացրեք ձեր եռանկյունու կողմերի երկարությունները a հավասարման մեջ2 + բ2 = գ2. Հիշեք, որ a- ն և b- ն թեք կողմեր են, մինչդեռ c- ն հիպոթենուզ է:
Մեր օրինակում մենք գիտենք կողմերից մեկի երկարությունը և հիպոթենուսը (3 և 5), ուստի հավասարումը դառնում է 3² + b² = 5²
Քայլ 5. Քառակուսի:
Ձեր հավասարումը լուծելու համար սկսեք հայտնի կողմերը քառակուսի դնելով: Այլապես, եթե դա ձեզ ավելի հեշտ է թվում, կարող եք թողնել ձեր կողքի երկարությունները քառակուսի, իսկ դրանք ավելի ուշ քառակուսի դնել:
-
Մեր օրինակում մենք 3 և 5 քառակուսիները կկազմենք այնպես, որ ստանանք
Քայլ 9. դա
Քայլ 25.. Մենք կարող ենք հավասարումը գրել 9 + b² = 25:
Քայլ 6. Անհայտ փոփոխականը տեղափոխեք հավասարման մյուս կողմ:
Անհրաժեշտության դեպքում օգտագործեք հիմնական հանրահաշվական գործողությունները, որպեսզի անհայտ փոփոխականը տեղափոխվի հավասարման մյուս կողմ, իսկ մյուս երկու փոփոխականների քառակուսին ՝ մյուս կողմ: Եթե ցանկանում եք գտնել հիպոթենուսի երկարությունը, ապա c- ն արդեն հավասարման մյուս կողմն է, այնպես որ այն տեղափոխելու համար պետք չէ որևէ բան անել:
Մեր օրինակում ընթացիկ հավասարումը 9 + b² = 25 է: b² տեղափոխելու համար հավասարման երկու կողմերը հանեք 9 -ով, այնպես որ արդյունքը b² = 16 է:
Քայլ 7. Հավասարման երկու կողմերի քառակուսի արմատ:
Այժմ միայն մեկ փոփոխական է քառակուսված մի կողմից, իսկ թիվը ՝ մյուս կողմից: Երկու կողմերի քառակուսի արմատ ՝ անհայտ կողմի երկարությունը գտնելու համար:
-
Մեր օրինակում ՝ b² = 16, երկու կողմերի քառակուսի արմատը վերցնում ենք b = 4. Այսպիսով, կարող ենք ասել, որ եռանկյան անհայտ կողմի երկարությունը
Քայլ 4..
Քայլ 8. Օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը ՝ գտնելու իսկական ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը:
Այսօր Պյութագորասի թեորեմի լայն կիրառման պատճառն այն է, որ այն կարող է կիրառվել անհամար գործնական իրավիճակներում: Սովորեք իմանալ ուղղանկյուն եռանկյունները իրական կյանքում. Ցանկացած իրավիճակում, երբ երկու առարկա կամ ուղիղ գծեր հանդիպում են ուղիղ անկյան տակ, իսկ երրորդ առարկան կամ գիծը անկյունագծով միանում է երկու առարկաներին կամ գծերին, ապա կարող եք օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը ՝ կողմի երկարությունը գտնելու համար: մյուսը, եթե մյուս երկու կողմերի երկարությունները հայտնի են:
-
Փորձենք իսկական օրինակ, որը մի փոքր ավելի դժվար է: Մի սանդուղք հենվում է շենքի վրա: Աստիճանների ներքևից մինչև պատը հեռավորությունը 5 մետր է: Աստիճանների բարձրությունը հասնում է 20 մետրի: Որքա՞ն է սանդուղքի երկարությունը:
-
Պատից 5 մետր և 20 մետր բարձրություն մեզ հայտնում է եռանկյունու կողմերի երկարությունները: Քանի որ պատը և հողը (ենթադրվում է) ուղիղ անկյուն են կազմում, և սանդուղքը անկյունագծով պատված է պատին, այս դասավորությունը կարելի է համարել ուղղանկյուն եռանկյուն ՝ կողերի երկարությամբ a = 5 և b = 20. Սանդուղքի երկարությունը հիպոթենուս է:, ուստի c- ի արժեքը հայտնի չէ: Եկեք օգտագործենք Պյութագորասի թեորեմը.
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- արմատ (425) = գ
- c = 20.6. Սանդուղքի մոտավոր երկարությունն է 20,6 մետր.
-
Մեթոդ 2 2-ից ՝ X-Y- ի երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվարկ: Ինքնաթիռ
Քայլ 1. X-Y հարթությունում գտեք երկու կետ:
Պյութագորասի թեորեմը կարող է հեշտությամբ օգտագործվել X-Y հարթության երկու կետերի միջև ուղիղ գծի հեռավորությունը հաշվարկելու համար: Այն, ինչ ձեզ հարկավոր է իմանալ, երկու կետերի x և y կոորդինատներն են: Սովորաբար, այս կոորդինատները միասին գրվում են (x, y) տեսքով:
Այս երկու կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու համար մենք յուրաքանչյուր կետ կդիտարկենք որպես ուղղանկյուն եռանկյան ոչ ուղղանկյուն անկյուններից մեկը: Այդպես վարվելով ՝ հեշտ կլինի գտնել a և b կողմերի երկարությունները, այնուհետև հաշվարկեք c հիպոթենուզը, որը երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունն է:
Քայլ 2. Նկարի՛ր նկարի քո երկու կետերը:
Սովորական X-Y հարթությունում, յուրաքանչյուր կետ (x, y), x- ը ներկայացնում է հորիզոնական կոորդինատ, իսկ y- ը ՝ ուղղահայաց կոորդինատ: Դուք կարող եք գտնել երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը ՝ առանց այն գծելու, բայց դա անելով ձեզ կտրամադրվի տեսողական պատկեր, որը կարող եք օգտագործել ՝ ձեր պատասխանի ճիշտ լինելու համար:
Քայլ 3. Գտեք ձեր եռանկյունու ոչ թեք կողմի երկարությունը:
Օգտագործելով երկու կետերը ՝ որպես հիպոթենուսին կից եռանկյան անկյուններ, գտեք եռանկյան a և b կողմերի երկարությունները: Դուք կարող եք դա անել ՝ օգտագործելով պատկեր կամ օգտագործելով | x բանաձևը1 - x2| հորիզոնական կողմի համար եւ | y1 - y2| ուղղահայաց կողմի համար, (x1, y1) որպես առաջին կետ և (x)2, y2) որպես երկրորդ կետ:
-
Թող մեր երկու կետերը լինեն (6, 1) և (3, 5): Մեր եռանկյունու հորիզոնական կողմի երկարությունը հետևյալն է.
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Քայլ 3.
-
Ուղղահայաց կողմի երկարությունը հետևյալն է.
- | յ1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Քայլ 4.
- Այսպիսով, մեր ուղղանկյուն եռանկյան մեջ a = 3 կողմը և b = 4 կողմը:
Քայլ 4. Օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը ՝ գտնելու հիպոթենուսի երկարությունը:
Երկու կետերի միջև հեռավորությունը եռանկյունի հիպոթենուսի երկարությունն է, որի երկու կողմերը դուք հենց նոր գտաք: Օգտագործեք Պյութագորասի թեորեմը ՝ գտնելու հիպոթենուսը, որտեղ a- ն առաջին կողմի երկարությունն է, իսկ b- ը ՝ երկրորդ կողմի երկարությունը:
-
Մեր օրինակում մենք օգտագործում ենք (3, 5) և (6, 1) կետերը, որոնց կողերի երկարությունները 3 և 4 են, ուստի կարող ենք գտնել հիպոթենուզը հետևյալ կերպ.
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- գ = արմատ (9+16)
- գ = արմատ (25)
-
c = 5. (3, 5) և (6, 1) միջև հեռավորությունը
Քայլ 5..
-
Խորհուրդներ
-
Հիպոթենուզը միշտ հետևյալն է.
- ճիշտ անկյան հակառակ (առանց աջ անկյունին դիպչելու)
- ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմը
- կոչվում է գ Պյութագորասի թեորեմում
- արմատ (x) նշանակում է x- ի քառակուսի արմատ:
- Հիշեք, որ միշտ ստուգեք ձեր պատասխանները: Եթե ձեր պատասխանը սխալ է թվում, կրկին փորձեք և նորից փորձեք:
- Եթե եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն չէ, ապա ձեզ հարկավոր է լրացուցիչ տեղեկատվություն, այլ ոչ թե միայն մյուս երկու կողմերի երկարությունները:
- Ստուգման մեկ այլ եղանակ. Ամենաերկար կողմը հակառակ է ամենամեծ անկյան, իսկ ամենակարճ կողմը `ամենափոքր անկյան:
- Թվերը a, b և c- ի ճիշտ արժեքները գրելու բանալին են: Եթե դուք աշխատում եք հեքիաթի խնդրի վրա, համոզվեք, որ սկզբում խնդիրը գրեք նկարի տեսքով:
- Եթե գիտեք միայն մի կողմի երկարությունը, Պյութագորասի թեորեմը չի գործում: Փորձեք օգտագործել եռանկյունաչափություն (sin, cos, tan) կամ 30-60-90 / 45-45-90 հարաբերակցություններ:
