Խորանարդային հավասարումները լուծելու 3 եղանակ

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-16 19:35

Երբ առաջին անգամ գտնում եք խորանարդի հավասարումը (որը կացնային ձևից է) ³ + bx ² + cx + d = 0), գուցե կարծում եք, որ խնդիրը դժվար կլինի լուծել: Բայց իմացեք, որ խորանարդի հավասարումների լուծումն իրականում գոյություն ունի դարեր շարունակ: Այս լուծումը, որը հայտնաբերել են իտալացի մաթեմատիկոսներ Նիկոլո Տարտալյան և Գերոլամո Կարդանոն 1500 -ականներին, Հին Հունաստանում և Հռոմում հայտնի առաջին բանաձևերից մեկն է: Խորանարդի հավասարումների լուծումը կարող է մի փոքր դժվար լինել, բայց ճիշտ մոտեցմամբ (և բավարար գիտելիքներով) կարող են լուծվել նույնիսկ ամենաբարդ խորանարդի հավասարումները:

Քայլ

Մեթոդ 1 3 -ից. Լուծում քառակուսի հավասարումների օգտագործմամբ

Քայլ 1. Ստուգեք, արդյոք ձեր խորանարդի հավասարումը ունի հաստատուն:

Ինչպես նշվեց վերևում, խորանարդի հավասարման ձևը կացին է ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, իսկ d արժեքը կարող է լինել 0 ՝ առանց ազդելու այս խորանարդի հավասարման ձևի վրա. սա հիմնականում նշանակում է, որ խորանարդի հավասարումը միշտ չէ, որ պետք է ներառի bx արժեքը ², cx, կամ d լինել խորանարդային հավասարություն: Խորանարդային հավասարումների լուծման այս բավականին հեշտ եղանակը սկսելու համար ստուգեք ՝ արդյոք ձեր խորանարդի հավասարումը ունի հաստատուն (կամ d արժեք): Եթե ձեր հավասարումը չունի d- ի հաստատուն կամ արժեք, ապա կարող եք քառակուսի հավասարման միջոցով մի քանի քայլից հետո գտնել խորանարդի հավասարման պատասխանը:

Մյուս կողմից, եթե ձեր հավասարումը մշտական արժեք ունի, ապա ձեզ այլ լուծում է պետք: Այլ մոտեցումների համար տե՛ս ստորև ներկայացված քայլերը:

Քայլ 2. Խորանարդային հավասարումից x- ի գործակիցը:

Քանի որ ձեր հավասարումը մշտական արժեք չունի, դրա բոլոր բաղադրիչներն ունեն x փոփոխական: Սա նշանակում է, որ x- ի այս արժեքը կարելի է դուրս բերել հավասարումից ՝ այն պարզեցնելու համար: Կատարեք այս քայլը և վերաշարադրեք ձեր խորանարդի հավասարումը x (ax ² + bx + գ):

Օրինակ, ասենք, որ այստեղ սկզբնական խորանարդի հավասարումը 3 x է ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Այս հավասարումից x փոփոխական հաշվի առնելով ՝ ստանում ենք հավասարումը x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Քայլ 3. Փակագծերում եղած հավասարումները լուծելու համար օգտագործիր քառակուսի հավասարումներ:

Դուք կարող եք նկատել, որ ձեր որոշ նոր հավասարումներ, որոնք փակված են փակագծերում, գտնվում են քառակուսի հավասարման տեսքով (կացին ² + bx + գ): Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք գտնել այն արժեքը, որն անհրաժեշտ է այս հավասարումը զրոյին հավասար դարձնելու համար ՝ a, b և c- ն քառակուսային հավասարումների բանաձևին միացնելով ({- b +/- √ (b ²- 4 աց)}/2 ա): Կատարեք այս հաշվարկները ՝ ձեր խորանարդի հավասարման երկու պատասխան գտնելու համար:

• Մեր օրինակում a, b և c (համապատասխանաբար, 3, -2 և 14) արժեքները միացրեք քառակուսի հավասարման մեջ հետևյալ կերպ.

  {- b +/- √ (ծն ²- 4 աց)}/2 ա

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Պատասխան 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• Պատասխան 2:

  {2 - 12.8 i}/6

Քայլ 4. Օգտագործեք զրոները և ձեր քառակուսի հավասարման ձեր պատասխանը `որպես ձեր խորանարդի հավասարման պատասխանը:

Քառակուսի հավասարումները կունենան երկու պատասխան, մինչդեռ խորանարդի հավասարումները `երեք: Երեքից երկու պատասխան արդեն գիտեք. որը դուք ստանում եք փակագծերի հավասարման «քառակուսի» մասից: Եթե ձեր խորանարդի հավասարումը կարող է լուծվել այսպես «գործոնավորմամբ», ձեր երրորդ պատասխանը գրեթե միշտ է 0. Ապահով Դուք պարզապես լուծել եք խորանարդի հավասարումը:

Այս մեթոդի գործարկման պատճառը հիմնական փաստն է, որ «ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկած հավասար է զրոյի»: Երբ քո հավասարումը գործածում ես x (ax ² + bx + գ) = 0, դուք հիմնականում այն բաժանում եք երկու «մասի»; մի մասը ձախ կողմում x փոփոխականն է, իսկ մյուս մասը ՝ փակագծերում քառակուսի հավասարումը: Եթե այս երկու մասերից մեկը զրո է, ապա ամբողջ հավասարումը նույնպես կլինի զրո: Այսպիսով, փակագծերում տեղադրված քառակուսային հավասարման երկու պատասխանները, որոնք այն կդարձնեն զրո, խորանարդի հավասարման պատասխաններն են, ինչպես նաև 0 -ն ինքնին, ինչը ձախ կողմի հատվածը նույնպես կդարձնի զրո:

Մեթոդ 2 -ից 3 -ը. Գտնել ամբողջական պատասխաններ գործոնների ցուցակի միջոցով

Քայլ 1. Համոզվեք, որ ձեր խորանարդի հավասարումը մշտական արժեք ունի:

Չնայած վերը նկարագրված մեթոդները բավականին հեշտ են օգտագործել, քանի որ դրանք օգտագործելու համար հարկավոր չէ սովորել հաշվարկման նոր տեխնիկա, դրանք միշտ չէ, որ կօգնեն ձեզ լուծել խորանարդային հավասարումները: Եթե ձեր խորանարդի հավասարումը ձևի կացին է ³ + bx ² + cx + d = 0, որտեղ d- ի արժեքը հավասար չէ զրոյի, վերը նշված «գործոնավորման» մեթոդը չի գործում, այնպես որ դա լուծելու համար հարկավոր է օգտագործել այս բաժնի մեթոդներից մեկը:

Օրինակ, ասենք, որ մենք ունենք 2 x հավասարումը ³ + 9 x ² + 13 x = -6: Այս դեպքում հավասարման աջ կողմում զրո ստանալու համար մենք երկու կողմերին պետք է ավելացնենք 6 -ը: Դրանից հետո մենք կստանանք նոր հավասարություն 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 արժեքով, այնպես որ մենք չենք կարող օգտագործել «գործոնավորման» մեթոդը, ինչպես նախորդ մեթոդում:

Քայլ 2. Գտեք a- ի և d- ի գործոնները:

Ձեր խորանարդի հավասարումը լուծելու համար սկսեք գտնել a- ի գործակիցը (x գործակիցը ³) և դ (հաստատուն արժեքը հավասարման վերջում): Հիշեք, որ գործոնները թվեր են, որոնք կարող են բազմապատկվել միմյանցով ՝ որոշակի թիվ ստանալու համար: Օրինակ, քանի որ կարող եք ստանալ 6 ՝ բազմապատկելով 6 × 1 և 2 × 3, 1, 2, 3 և 6 -ը 6 -ի գործոններն են:

• Օրինակում, որը մենք օգտագործում ենք, a = 2 և d = 6: 2 -ի գործակիցն է 1 և 2. Մինչդեռ 6 -ի գործակիցն է 1, 2, 3 և 6.

  

  Քայլ 3. Գործոնը a- ն բաժանիր d- ի գործակիցով:

  Հաջորդը, նշեք այն արժեքները, որոնք ստանում եք a- ի յուրաքանչյուր գործոնը բաժանելով d- ի յուրաքանչյուր գործոնի վրա: Այս հաշվարկը սովորաբար հանգեցնում է բազմաթիվ կոտորակային արժեքների և մի քանի ամբողջական թվերի: Ձեր խորանարդային հավասարումը լուծելու ամբողջ արժեքը հաշվարկից ստացված ամբողջ թվերից է:

  Մեր հավասարման մեջ a (1, 2) գործոնի արժեքը բաժանեք d գործակցի վրա (1, 2, 3, 6) և ստացեք հետևյալ արդյունքները ՝ 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 և 2/3: Հաջորդը, բացասական արժեքներ ավելացրեք ցուցակին, և մենք ստանում ենք. 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 և -2/3. Խորանարդային հավասարման պատասխանը, որը ամբողջ թիվ է, ցանկում է:

  

  Քայլ 4. Օգտագործեք սինթետիկ բաժանումը `ձեր պատասխանները ձեռքով ստուգելու համար:

  Երբ դուք ունեք արժեքների ցուցակ, ինչպես վերը նշվածը, կարող եք փնտրել ամբողջ այն արժեքները, որոնք ձեր խորանարդի հավասարման պատասխաններն են `ձեռքով մուտքագրելով յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ և գտնել, թե որ արժեքը զրո է վերադարձնում: Այնուամենայնիվ, եթե դուք չեք ցանկանում ժամանակ ծախսել դրա վրա, կա մի միջոց դա ավելի արագ կատարելու համար, այն է ՝ հաշվարկով, որը կոչվում է սինթետիկ բաժանում: Ըստ էության, դուք ձեր ամբողջ արժեքը բաժանեք ձեր խորանարդի հավասարման a, b, c և d սկզբնական գործակիցների վրա: Եթե մնացորդը զրո է, ապա այդ արժեքը ձեր խորանարդի հավասարման պատասխաններից մեկն է:

  • Սինթետիկ բաժանումը բարդ թեմա է: Լրացուցիչ տեղեկությունների համար տես ստորև բերված հղումը: Ահա մի օրինակ, թե ինչպես կարելի է սինթետիկ բաժանումով գտնել ձեր խորանարդի հավասարման պատասխաններից մեկը.

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Քանի որ մենք ստանում ենք 0 -ի հավասար վերջնական արդյունքը, մենք գիտենք, որ մեր խորանարդի հավասարման ամբողջական պատասխաններից մեկն է - 1.

  3 -րդ մեթոդ 3 -ից. Օգտագործելով խտրական մոտեցումը

  

  Քայլ 1. Գրեք a, b, c և d հավասարումները:

  Այս կերպ խորանարդի հավասարման պատասխանը գտնելու համար մենք շատ հաշվարկներ կանենք մեր հավասարման գործակիցներով: Դրա պատճառով լավ գաղափար է նշեք a, b, c և d արժեքները, նախքան որևէ արժեք մոռանալը:

  Օրինակ ՝ x հավասարման համար ³ - 3 x ² + 3 x -1, գրեք այն որպես a = 1, b = -3, c = 3, և d = -1: Մի մոռացեք, որ երբ x փոփոխականը գործակից չունի, դրա արժեքը 1 է:

  

  Քայլ 2. Հաշվիր 0 = բ ² - 3 օդորակիչ:

  Խորանարդի հավասարումների պատասխաններ գտնելու խտրական մոտեցումը պահանջում է բարդ հաշվարկներ, բայց եթե ուշադիր հետևեք քայլերին, այն կարող է շատ օգտակար լինել այլ կերպ դժվար լուծվող խորանարդի հավասարումների լուծման համար: Սկզբից գտեք 0 արժեքը, որը մեզ անհրաժեշտ մի քանի արժեքների առաջին նշանակալի արժեքն է ՝ համապատասխան արժեքը միացնելով բանաձևին ² - 3 օդորակիչ:

  • Մեր օգտագործած օրինակում մենք այն կլուծենք հետևյալ կերպ.

    բ ² - 3 ակ

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Քայլ 3. Հաշվիր 1 = 2 բ ³ - 9 abc + 27 ա ² դ.

  Մեզ անհրաժեշտ հաջորդ նշանակալից արժեքը ՝ 1 -ը, պահանջում է ավելի երկար հաշվարկ, բայց կարելի է գտնել 0 -ի նման: Միացրեք համապատասխան արժեքը 2 բ բանաձևին ³ - 9 abc + 27 ա ² d ստանալ 1 արժեքը:

  • Այս օրինակում մենք այն լուծում ենք հետևյալ կերպ.

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Քայլ 4. Հաշվիր = 1² - 4Δ0³) -27 ա ².

  Հաջորդը, մենք հաշվարկում ենք 0 և 1 արժեքների «խտրական» արժեքը: Խտրականը մի թիվ է, որը ձեզ տալիս է տեղեկատվություն բազմանդամի արմատի մասին (դուք կարող եք անգիտակցաբար անգիր սովորել քառակուսային խտրական բանաձևը. Բ ² - 4 օդորակիչ): Խորանարդի հավասարման դեպքում, եթե խտրականության արժեքը դրական է, ապա հավասարումը ունի երեք իրական թվային պատասխան: Եթե խտրական արժեքը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումը ունի մեկ կամ երկու իրական թվային պատասխան, իսկ որոշ պատասխաններ ունեն նույն արժեքը: Եթե արժեքը բացասական է, ապա հավասարումը միայն մեկ իրական թվային պատասխան ունի, քանի որ հավասարման գրաֆիկը միշտ գոնե մեկ անգամ հատելու է x առանցքը):

  • Այս օրինակում, քանի որ և՛ 0, և՛ 1 = 0, արժեքը շատ հեշտ է գտնել: Պարզապես պետք է հաշվարկել այն հետևյալ կերպ.

    1² - 4Δ0³) -27 ա ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, այնպես որ մեր հավասարումը ունի 1 կամ 2 պատասխան:

  

  Քայլ 5. Հաշվիր C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2):

  Վերջին արժեքը, որը մեզ համար կարևոր է ստանալ, C- ի արժեքն է: Այս արժեքը թույլ է տալիս ստանալ մեր խորանարդի հավասարման բոլոր երեք արմատները: Լուծիր ինչպես միշտ ՝ 1 -ի և 0 -ի արժեքները միացնելով բանաձևին:

  • Այս օրինակում մենք C- ի արժեքը կստանանք ՝

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = Գ

  

  Քայլ 6. Հաշվարկեք հավասարման երեք արմատները ձեր փոփոխականով:

  Ձեր խորանարդի հավասարման արմատը (պատասխանը) որոշվում է բանաձևով (բ + ու C + (Δ0/u Գ)) / 3 ա, որտեղ u = (-1 + (-3))/2 և n հավասար է 1, 2 կամ 3. Միացրեք ձեր արժեքները բանաձևին դրանք լուծելու համար. գուցե անհրաժեշտ է կատարել մի քանի հաշվարկ, բայց դուք պետք է ստանաք ձեր խորանարդի հավասարման բոլոր երեք պատասխանները:

  • Այս օրինակում մենք կարող ենք լուծել այն ՝ ստուգելով պատասխանները, երբ n- ը հավասար է 1, 2 և 3 -ի: Այս հաշվարկից ստացված պատասխանը մեր խորանարդի հավասարման հնարավոր պատասխանն է. Ցանկացած արժեք, որը մենք միացնում ենք խորանարդի հավասարմանը, և դա տալիս է նույն արդյունքը: 0 -ով ճիշտ պատասխանը: Օրինակ, եթե մենք ստանում ենք 1 -ի հավասար պատասխան, եթե մեր հաշվարկային փորձերից մեկում, 1 արժեքը միացնելով x հավասարմանը ³ - 3 x ² + 3 x - 1 տալիս է վերջնական արդյունքը 0. հավասար: Այսպիսով

    Քայլ 1. մեր խորանարդի հավասարման պատասխաններից մեկն է: