Քառակուսի հավասարումը այն հավասարումն է, որի ամենաբարձր աստիճանը 2 է (քառակուսի): Գոյություն ունի քառակուսային հավասարման լուծման երեք հիմնական եղանակ ՝ եթե հնարավոր է, քառակուսային հավասարումը ֆակտորիզացնել, քառակուսի բանաձևի օգտագործմամբ կամ քառակուսու լրացումով: Եթե ցանկանում եք տիրապետել այս երեք մեթոդներին, հետևեք այս քայլերին:
Քայլ
Մեթոդ 1 3 -ից. Ֆակտորինգային հավասարումներ
Քայլ 1. Միավորել բոլոր հավասար փոփոխականները և դրանք տեղափոխել հավասարման մի կողմ:
Հավասարումն ընդունելու առաջին քայլը բոլոր հավասար փոփոխականների տեղափոխումն է հավասարման մի կողմ ՝ x- ով2դրական է: Փոփոխականները համատեղելու համար գումարեք կամ հանեք բոլոր փոփոխականները x2, x և հաստատուններ (ամբողջ թվեր), դրանք տեղափոխեք հավասարման մյուս կողմ, որպեսզի ոչինչ չմնա մյուս կողմում: Երբ մյուս կողմը չունի մնացած փոփոխականներ, հավասարության նշանի կողքին գրեք 0: Ահա թե ինչպես դա անել.
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Քայլ 2. Գործարկեք այս հավասարումը:
Այս հավասարումը գործոնավորելու համար պետք է օգտագործել x գործոնը2 (3) և հաստատուն գործակիցը (-4) ՝ դրանք բազմապատկելով և ավելացնելով, որպեսզի տեղավորեն փոփոխականը մեջտեղում, (-11): Ահա թե ինչպես դա անել.
- 3x2 ունի միայն մեկ հնարավոր գործոն, որն է ՝ 3x և x, կարող եք դրանք գրել փակագծերում ՝ (3x +/-?) (x +/-?) = 0:
- Այնուհետև, վերացման գործընթացը օգտագործեք 4 -ի գործակիցը գտնելու համար, որը տալիս է -11x արտադրանքը: Դուք կարող եք օգտագործել 4 -ի և 1 -ի, կամ 2 -ի և 2 -ի արտադրյալը, քանի որ երկուսն էլ բազմապատկելիս ստանում եք 4. Բայց հիշեք, որ թվերից մեկը պետք է բացասական լինի, քանի որ արդյունքը -4 է:
- Փորձեք (3x + 1) (x - 4): Երբ այն բազմապատկում ես, արդյունքն է ՝ 3x2 -12x +x -4: Եթե համատեղում եք -12 x և x փոփոխականները, արդյունքը կլինի -11x, որը ձեր միջին արժեքն է: Դուք պարզապես ֆակտորավորել եք քառակուսային հավասարումը:
- Օրինակ, եկեք փորձենք ֆակտորինգ անել մյուս արտադրանքի ՝ (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4: Եթե փոփոխականները համատեղեք, արդյունքը կլինի 3x2 -4x -4: Չնայած -2 և 2 գործոնները բազմապատկելիս արտադրվում է -4, միջինը նույնը չէ, քանի որ ցանկանում եք ստանալ -11x արժեք -4x- ի փոխարեն:
Քայլ 3. Ենթադրենք, որ յուրաքանչյուր փակագիծ զրո է տարբեր հավասարումների մեջ:
Սա թույլ կտա ձեզ գտնել 2 x արժեքներ, որոնք ձեր հավասարումը կդարձնեն զրո: Դուք հաշվի եք առել ձեր հավասարումը, ուստի մնում է միայն ենթադրել, որ յուրաքանչյուր փակագծում հաշվարկը հավասար է զրոյի: Այսպիսով, դուք կարող եք գրել 3x + 1 = 0 և x - 4 = 0:
Քայլ 4. Յուրաքանչյուր լուծում լուծիր առանձին:
Քառակուսի հավասարման մեջ x- ի համար կա 2 արժեք: Լուծեք յուրաքանչյուր հավասարումը առանձին ՝ տեղափոխելով փոփոխականները և 2 պատասխան գրելով x- ի համար, այսպես.
-
Լուծիր 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. հանելով
- 3x/3 = -1/3….. բաժանելով
- x = -1/3….. պարզեցնելով
-
Լուծիր x - 4 = 0
x = 4….. հանելով
- x = (-1/3, 4)….. մի քանի հնարավոր պատասխանները առանձին դարձնելով, այսինքն ՝ x = -1/3 կամ x = 4 երկուսն էլ կարող են ճիշտ լինել:
Քայլ 5. Ստուգեք x = -1/3 (3x + 1) (x -4) = 0:
Այսպիսով մենք ստանում ենք (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. փոխարինելով (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. պարզեցնելով (0) (-4 1/3) = 0….. բազմապատկելով Այսպիսով, 0 = 0….. Այո, x = -1/3 ճիշտ է:
Քայլ 6. Ստուգեք x = 4 դյույմ (3x + 1) (x - 4) = 0:
Այսպիսով մենք ստանում ենք (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. փոխարինելով (13) (4 - 4)? =? 0….. պարզեցնելով (13) (0) = 0….. բազմապատկելով Այսպիսով, 0 = 0….. Այո, x = 4 -ը նույնպես ճիշտ է:
Այսպիսով, առանձին ստուգելուց հետո երկու պատասխաններն էլ ճիշտ են և կարող են օգտագործվել հավասարումների մեջ:
Մեթոդ 2 -ից 3 -ը ՝ քառակուսի բանաձևի օգտագործումը
Քայլ 1. Միավորել բոլոր հավասար փոփոխականները և դրանք տեղափոխել հավասարման մի կողմ:
Տեղափոխեք բոլոր փոփոխականները հավասարման մի կողմ ՝ x փոփոխականի արժեքով2 դրական Գրեք փոփոխականները հաջորդական ցուցիչներով, այնպես որ x2 գրվում է առաջինը, որին հաջորդում են փոփոխականները և հաստատունները: Ահա թե ինչպես դա անել.
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Քայլ 2. Գրեք քառակուսի բանաձևը:
Քառակուսի բանաձևն է ՝ b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Քայլ 3. Որոշեք a, b, c արժեքները քառակուսի հավասարումից:
Փոփոխական a- ն x գործակիցն է2, b- ը x փոփոխականի գործակիցն է, իսկ c- ն ՝ հաստատուն: 3x հավասարման համար2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, և c = -8: Գրեք երեքն էլ:
Քայլ 4. Փոխարինեք a, b և c արժեքները հավասարման մեջ:
Երեք փոփոխական արժեքները իմանալուց հետո դրանք միացրեք այսպիսի հավասարման.
- {-b +/- √ (ծն2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Քայլ 5. Կատարեք հաշվարկներ:
Թվերը մուտքագրելուց հետո որոշ մաթեմատիկա կատարեք ՝ պարզ կամ դրական նշանը պարզեցնելու, բազմապատկելու կամ մնացած փոփոխականները քառակուսավորելու համար: Ահա թե ինչպես դա անել.
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Քայլ 6. Պարզեցրեք քառակուսի արմատը:
Եթե քառակուսի արմատի տակ գտնվող թիվը կատարյալ քառակուսի է, ապա ստանում ենք մի ամբողջ թիվ: Եթե թիվը կատարյալ քառակուսի չէ, պարզեցրեք իր ամենապարզ արմատային ձևը: Եթե թիվը բացասական է, և դուք կարծում եք, որ այն պետք է լինի բացասական, ապա արմատային արժեքը կբարդանա: Այս օրինակում (121) = 11. Դուք կարող եք գրել x = (5 +/- 11)/6:
Քայլ 7. Փնտրեք դրական և բացասական պատասխանները:
Քառակուսի արմատային նշանը հեռացնելուց հետո կարող եք աշխատել x- ի համար դրական և բացասական արդյունք գտնելու ճանապարհով: Այժմ, երբ ունեք (5 +/- 11)/6, կարող եք գրել 2 պատասխան.
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Քայլ 8. Լրացրեք դրական և բացասական պատասխանները:
Կատարել մաթեմատիկական հաշվարկներ.
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Քայլ 9. Պարզեցրեք
Յուրաքանչյուր պատասխան պարզեցնելու համար բաժանեք ամենամեծ թվին, որը կարող է բաժանել երկու թվերը: Առաջին կոտորակը բաժանեք 2 -ի, իսկ երկրորդը բաժանեք 6 -ի, և գտաք x արժեքը:
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Մեթոդ 3 -ից 3 -ը. Լրացրեք հրապարակը
Քայլ 1. Տեղափոխեք բոլոր փոփոխականները հավասարման մի կողմ:
Համոզվեք, որ x կամ փոփոխական2 դրական Ահա թե ինչպես դա անել.
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Այս հավասարման մեջ a փոփոխականը 2 է, b փոփոխականը `-12, իսկ c փոփոխականը` -9:
Քայլ 2. Փոփոխականը կամ հաստատունը տեղափոխեք մյուս կողմ:
Հաստատունները թվային տերմիններ են ՝ առանց փոփոխականների: Տեղափոխեք հավասարման աջ կողմը.
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Քայլ 3. Երկու կողմերը բաժանեք a գործակցով կամ x փոփոխականով2.
Եթե x2 չունի փոփոխական և գործակիցը 1 է, կարող եք բաց թողնել այս քայլը: Այս դեպքում դուք պետք է բոլոր փոփոխականները բաժանեք 2 -ի, այսպես.
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Քայլ 4. Բ -ն բաժանել 2 -ի, քառակուսի դնել և արդյունքը ավելացնել երկու կողմերին:
Այս օրինակում b- ի արժեքը -6 է: Ահա թե ինչպես դա անել.
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Քայլ 5. Պարզեցրեք երկու կողմերը:
Ֆակտորի՛ր ձախ կողմում գտնվող փոփոխականը ՝ ստանալու համար (x-3) (x-3) կամ (x-3)2. Ավելացրեք արժեքները աջին ՝ ստանալու համար 9/2 + 9 կամ 9/2 + 18/2, որը կազմում է 27/2:
Քայլ 6. Գտեք քառակուսի արմատը երկու կողմերի համար:
(X-3) քառակուսի արմատ2 է (x-3): 27/2 քառակուսի արմատը կարող եք գրել ± √ (27/2) թվով: Այսպիսով, x - 3 = √ (27/2):
Քայլ 7. Պարզեցրեք արմատները և գտեք x- ի արժեքը:
Simpl ify (27/2) պարզեցնելու համար գտեք կատարյալ քառակուսին 27 և 2 թվերի միջև կամ գործակից դարձրեք այդ թվին: 9 -ի կատարյալ քառակուսին կարելի է գտնել 27 -ում, քանի որ 9 x 3 = 27. Քառակուսի արմատից 9 -ը հանելու համար արմատից վերցրեք 9 -ը և քառակուսի արմատից դուրս գրեք 3 ՝ քառակուսի արմատը: Մնացած 3 -ը թողեք քառակուսի արմատից ներքև գտնվող կոտորակի համարիչի մեջ, քանի որ 27 -ը չի մշակում բոլոր գործոնները, և ներքևում գրեք 2 -ը: Այնուհետև, հավասարման ձախ կողմում գտնվող հաստատուն 3 -ը տեղափոխեք աջ և գրեք ձեր երկու լուծումները x- ի համար.
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Խորհուրդներ
- Ինչպես տեսնում եք, արմատային նշանները ամբողջությամբ չեն վերանա: Այսպիսով, համարիչ փոփոխականները հնարավոր չէ համատեղել (քանի որ դրանք հավասար չեն): Իմաստ չունի այն բաժանել դրական կամ բացասական: Այնուամենայնիվ, մենք կարող ենք այն բաժանել նույն գործոնի վրա, բայց ՄԻԱՅՆ եթե երկու հաստատունների համար գործոնները նույնն են ԵՎ արմատային գործակից:
- Եթե քառակուսի արմատի տակ գտնվող թիվը կատարյալ քառակուսի չէ, ապա վերջին մի քանի քայլերը մի փոքր այլ են: Ահա մի օրինակ.
- Եթե b- ն զույգ թիվ է, բանաձևը դառնում է ՝ {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a:
