Ինչպես նկարել քառակուսի գրաֆիկ. 10 քայլ (նկարներով)

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-02-01 14:13

Երբ գրաֆիկորեն ներկայացված է, քառակուսային հավասարումը ունի ձև կացին² + բ x + գ կամ ա (x - h)² + կ ձևավորել U տառը կամ շրջված U կորը, որը կոչվում է պարաբոլա: Քառակուսի հավասարման գծագրումը փնտրում է գագաթը, ուղղությունը և հաճախ x և y խաչմերուկը: Բավականին պարզ քառակուսային հավասարումների դեպքում x արժեքների մի շարք մուտքագրելը և ստացված կետերի հիման վրա կորի գծագրումը կարող են բավարար լինել: Սկսելու համար տե՛ս ստորև բերված Քայլ 1 -ը:

Քայլ

Քայլ 1. Որոշեք ձեր ունեցած քառակուսի հավասարման ձևը:

Քառակուսի հավասարումները կարող են գրվել երեք տարբեր ձևերով ՝ ընդհանուր ձև, գագաթնակետ և քառակուսի ձև: Դուք կարող եք օգտագործել ցանկացած ձև ՝ քառակուսային հավասարումը գծագրելու համար. յուրաքանչյուր գրաֆիկի պատկերման գործընթացը փոքր -ինչ տարբերվում է: Եթե տնային աշխատանք եք կատարում, սովորաբար հարցեր կստանաք այս երկու ձևերից մեկով, այլ կերպ ասած ՝ չեք կարողանա ընտրել, ուստի ավելի լավ է երկուսն էլ հասկանալ: Քառակուսի հավասարման երկու ձևերն են.

• Ընդհանուր ձև:

  Այս տեսքով քառակուսային հավասարումը գրվում է այսպես ՝ f (x) = ax² + bx + c, որտեղ a, b և c- ն իրական թվեր են, իսկ a- ն զրո չէ:

  Օրինակ, երկու ընդհանուր քառակուսային հավասարումներ են f (x) = x² + 2x + 1 և f (x) = 9x² + 10x -8

• Գագաթնակետի ձև:

  Այս ձևով քառակուսային հավասարումը գրվում է հետևյալ կերպ. F (x) = a (x - h)² + k, որտեղ a, h և k իրական թվեր են, իսկ a- ն զրո չէ: Այն կոչվում է գագաթի ձև, քանի որ h և k անմիջապես տալիս են ձեր պարաբոլայի գագաթը (միջին կետը) (h, k) կետում:

  Երկու գագաթային ձևի հավասարումներ են f (x) = 9 (x - 4)² + 18 և -3 (x - 5)² + 1

• Typeանկացած տեսակի հավասարումների գծագրման համար մենք նախ պետք է գտնենք պարաբոլայի գագաթը, որը կորի վերջի միջնակետն է (h, k): Գագաթների կոորդինատները ընդհանուր տեսքով հաշվարկվում են այսպես ՝ h = -b/2a և k = f (h), մինչդեռ գագաթնակետային ձևում h և k հավասարման մեջ են:

Քայլ 2. Սահմանեք ձեր փոփոխականները:

Քառակուսի խնդիր լուծելու համար սովորաբար պետք է սահմանել a, b և c (կամ a, h և k) փոփոխականները: Սովորական հանրահաշվական խնդիրը կտա քառակուսային հավասարում առկա փոփոխականներով, սովորաբար ընդհանուր տեսքով, բայց երբեմն գագաթնակետային:

• Օրինակ ՝ f (x) = 2x ընդհանուր ձևի հավասարման համար² + 16x + 39, մենք ունենք a = 2, b = 16, և c = 39:
• Գագաթնակետի համար հավասարման f (x) = 4 (x - 5)² + 12, մենք ունենք a = 4, h = 5, և k = 12:

Քայլ 3. Հաշվիր ժ

Գագաթային ձևի հավասարման մեջ ձեր h արժեքը արդեն տրված է, բայց ընդհանուր ձևի հավասարման մեջ h արժեքը պետք է հաշվարկվի: Հիշեք, որ ընդհանուր ձևի հավասարումների դեպքում h = -b/2a:

• Մեր ընդհանուր ձևի օրինակ (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2): Լուծելուց հետո գտնում ենք, որ h = - 4.
• Մեր գագաթային ձևի օրինակ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), մենք գիտենք, որ h = 5 ՝ առանց որևէ մաթեմատիկա կատարելու:

Քայլ 4. Հաշվիր կ

Ինչպես h, այնպես էլ k- ն արդեն հայտնի է գագաթնակետի հավասարման մեջ: Ընդհանուր ձևի հավասարումների համար հիշեք, որ k = f (h): Այլ կերպ ասած, դուք կարող եք գտնել k- ն ՝ ձեր հավասարման բոլոր x արժեքները փոխարինելով ձեր գտած h արժեքներով:

• Մենք արդեն մեր ընդհանուր ձևի օրինակով որոշել ենք, որ h = -4: K գտնելու համար մենք լուծում ենք մեր հավասարումը ՝ x- ի փոխարեն միացնելով մեր h արժեքը.

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39:

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Քայլ 7.

• Մեր գագաթնակետային օրինակում, կրկին, մենք գիտենք k- ի արժեքը (որը 12 է) ՝ առանց որևէ մաթեմատիկա անելու:

Քայլ 5. Նկարեք ձեր գագաթնակետը:

Ձեր պարաբոլայի գագաթը կետն է (h, k)-h- ն ներկայացնում է x- կոորդինատը, իսկ k- ն y- կոորդինատը: Գագաթը ձեր պարաբոլայի միջնակետն է `կամ U- ի ներքևում, կամ շրջված U- ի վերևում: Գագաթների իմացությունը ճշգրիտ պարաբոլա նկարելու կարևոր մասն է. Հաճախ, դպրոցական աշխատանքներում, գագաթը որոշելը այն հարցն է, որը պետք է փնտրել:

• Մեր ընդհանուր ձևի օրինակով մեր գագաթնակետը (-4, 7) է: Այսպիսով, մեր պարաբոլան կավարտի 4 քայլ դեպի ձախ ՝ 0 և 7 քայլ վերևից (0, 0): Մենք պետք է պատկերենք այս կետը մեր գրաֆիկում ՝ համոզվելով, որ նշենք կոորդինատները:
• Մեր գագաթային ձևի օրինակում մեր գագաթն է (5, 12): Մենք պետք է մի կետ քաշենք 5 քայլ դեպի աջ և 12 քայլ վերև (0, 0):

Քայլ 6. Նկարեք պարաբոլայի առանցքը (ըստ ցանկության):

Պարաբոլայի համաչափության առանցքը մի գիծ է, որն անցնում է նրա կենտրոնով ՝ բաժանելով այն հենց մեջտեղում: Այս առանցքի վրա պարաբոլայի ձախ կողմը կարտացոլի աջ կողմը: Քառակուսի հավասարումների համար ՝ կացնաձև տեսքով² + bx + c կամ a (x - h)² + k, համաչափության առանցքը այն ուղիղն է, որը զուգահեռ է y առանցքին (այլ կերպ ասած ՝ ուղիղ ուղղահայաց) և անցնում է գագաթով:

Մեր ընդհանուր ձևի օրինակի դեպքում առանցքը y- առանցքին զուգահեռ ուղիղ է և անցնում է կետով (-4, 7): Թեև դա պարաբոլայի մաս չէ, այս գծի բարակ գծանշումը գրաֆիկի վրա ի վերջո կօգնի ձեզ տեսնել պարաբոլայի կորի սիմետրիկ ձևը:

Քայլ 7. Գտեք պարաբոլայի բացման ուղղությունը:

Պարաբոլայի գագաթնակետը և առանցքը իմանալուց հետո, հաջորդը պետք է իմանանք ՝ պարաբոլան բացվում է ներքև, թե ներքև: Բարեբախտաբար, սա հեշտ է: Եթե a- ի արժեքը դրական է, ապա պարաբոլան կբացվի դեպի վեր, իսկ եթե a- ի արժեքը բացասական է, ապա պարաբոլան կբացվի ներքև (այսինքն ՝ պարաբոլան շրջված կլինի):

• Մեր ընդհանուր ձևի համար օրինակ (f (x) = 2x² + 16x + 39), մենք գիտենք, որ մենք ունենք պարաբոլա, որը բացվում է, քանի որ մեր հավասարման մեջ a = 2 (դրական):
• Մեր գագաթնակետի ձևի օրինակ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), մենք գիտենք, որ մենք ունենք նաև պարաբոլա, որը բացվում է, քանի որ a = 4 (դրական):

Քայլ 8. Անհրաժեշտության դեպքում գտեք և նկարեք x- միջանցքը:

Հաճախ, դպրոցական աշխատանքներում ձեզանից կպահանջվի գտնել պարապոլայի x- միջանցքը (որը մեկ կամ երկու կետ է, որտեղ պարաբոլան հանդիպում է x առանցքի հետ): Նույնիսկ եթե դուք չեք գտնում մեկը, այս երկու կետերը շատ կարևոր են ճշգրիտ պարաբոլա նկարելու համար: Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր պարաբոլաներն ունեն x- ընդհատում: Եթե ձեր պարաբոլան ունի մի գագաթ, որը բացվում է, և դրա գագաթը գտնվում է x առանցքի վերևում, կամ եթե այն բացվում է ներքև, և դրա գագաթը գտնվում է x առանցքի տակ, պարաբոլան x-intercept չի ունենա. Հակառակ դեպքում լուծեք ձեր x-intercept- ը հետևյալ եղանակներից մեկով.

• Պարզապես կատարեք f (x) = 0 և լուծեք հավասարումը: Այս մեթոդը կարող է օգտագործվել պարզ քառակուսի հավասարումների համար, հատկապես գագաթնակետային տեսքով, բայց բարդ հավասարումների համար շատ դժվար կլինի: Տե՛ս ստորև ՝ օրինակի համար

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Արմատ (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12: x = 11 և 13 պարաբոլայի x- միջանցքն է:

• Գործոնավորիր քո հավասարումը: Որոշ հավասարումներ կացնաձևում² + bx + c կարելի է հեշտությամբ հաշվի առնել (dx + e) (fx + g) ձևի մեջ, որտեղ dx × fx = կացին², (dx × g + fx × e) = bx, և e × g = c Այս դեպքում ձեր x- ընդհատումները x արժեքներ են, որոնք փակագծերում կկազմեն ցանկացած տերմին = 0. Օրինակ.

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Այս դեպքում ձեր միակ x- ընդհատումը -1 է, քանի որ x- ը հավասար -1 դարձնելու դեպքում փակագծերում ցանկացած գործոնային տերմին հավասար կլինի 0 -ի:

• Օգտագործեք քառակուսի բանաձևը: Եթե դուք չեք կարող հեշտությամբ լուծել ձեր x- ընդհատումը կամ գործակից դարձնել ձեր հավասարումը, օգտագործեք հատուկ հավասարություն, որը կոչվում է քառակուսի բանաձև, որը ստեղծվել է այս նպատակով: Եթե դա դեռ լուծված չէ, փոխակերպեք ձեր հավասարումը ձևի կացին² + bx + c, ապա a, b և c մուտքագրեք x = (-b +/- sqrt (b) բանաձևի մեջ² - 4ac))/2a Նկատի ունեցեք, որ այս մեթոդը հաճախ ձեզ տալիս է x- ի արժեքի երկու պատասխան, ինչը նորմալ է, դա պարզապես նշանակում է, որ ձեր պարաբոլան ունի երկու x-intercepts: Տե՛ս ստորև ՝ օրինակ.

  • -5x² + 1x + 10 -ը քառակուսի բանաձևի մեջ դրված է այսպես.
  • x = (-1 +/- արմատ (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- արմատ (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- արմատ (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) և (-15, 18/-10): Պարաբոլայում x- միջանցքը x = է - 1, 318 եւ 1, 518
  • Ընդհանուր ձևի մեր նախորդ օրինակը ՝ 2x² +16x+39 քառակուսի բանաձևի մեջ դրվում է հետևյալ կերպ.
  • x = (-16 +/- Արմատ (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- արմատ (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- արմատ (-56)/-10
  • Քանի որ անհնար է գտնել բացասական թվի քառակուսի արմատը, մենք գիտենք, որ այս պարաբոլան չունի x- ընդհատում.

Քայլ 9. Անհրաժեշտության դեպքում գտեք և նկարեք y- միջամտությունը:

Թեև հաճախ անհրաժեշտ չէ y- ընդհատումը փնտրել հավասարումների մեջ (այն կետը, որտեղ պարաբոլան անցնում է y առանցքով), բայց, ի վերջո, գուցե ստիպված լինեք գտնել այն, հատկապես, եթե դպրոցում եք: Գործընթացը բավականին պարզ է. Պարզապես կազմեք x = 0, ապա լուծեք ձեր հավասարումը f (x) կամ y համար, որը տալիս է y- ի արժեքը, որտեղ ձեր պարաբոլան անցնում է y առանցքի միջով: Ի տարբերություն x- ընդհատման, սովորական պարաբոլան կարող է ունենալ միայն մեկ y- ընդհատում: Նշում-ընդհանուր ձևի հավասարումների դեպքում y- ընդհատումը y = c- ում է:

• Օրինակ, մենք գիտենք, որ մեր քառակուսային հավասարումը 2x է² + 16x + 39-ն y- ընդհատում ունի y = 39-ում, բայց այն կարելի է գտնել նաև հետևյալ կերպ.

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Պարաբոլայի y- ընդհատումը ժամը է y = 39:

    Ինչպես նշվեց վերևում, y- ընդհատումը գտնվում է y = c- ում:

• Մեր գագաթային հավասարման ձևը 4 է (x - 5)² + 12-ում կա y- ընդհատում, որը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Պարաբոլայի y- ընդհատումը ժամը է y = 112:

Քայլ 10. Անհրաժեշտության դեպքում գծեք լրացուցիչ միավորներ, ապա գծեք գրաֆիկ:

Այժմ ձեր հավասարման մեջ ունեք գագաթը, ուղղությունը, x- ընդհատումը և, հնարավոր է, y- ընդհատումը: Այս փուլում կարող եք փորձել նկարել ձեր պարաբոլան ՝ օգտագործելով ուղեցույցի ձեր ունեցած կետերը, կամ փնտրել այլ կետեր ՝ ձեր պարաբոլան լրացնելու համար, որպեսզի ձեր գծած կորը ավելի ճշգրիտ լինի: Դա անելու ամենահեշտ ձևն այն է, որ պարզապես մուտքագրեք որոշ x արժեքներ ձեր գագաթի ցանկացած կողմում, այնուհետև գծեք այս կետերը ՝ օգտագործելով ստացված y- արժեքները: Հաճախ ուսուցիչները խնդրում են ձեզ մի քանի կետ փնտրել նախքան ձեր պարաբոլան նկարելը:

• Եկեք վերանայենք x հավասարումը² + 2x + 1. Մենք արդեն գիտենք, որ x -intercept- ը միայն x = -1 է: Քանի որ կորը մի կետում դիպչում է միայն x- միջակետին, կարող ենք եզրակացնել, որ գագաթը նրա x- միջանցքն է, ինչը նշանակում է, որ գագաթը (-1, 0) է: Մենք արդյունավետորեն ունենք ընդամենը մեկ միավոր այս պարաբոլայի համար `բավարար չէ լավ պարաբոլա նկարելու համար: Եկեք փնտրենք այլ կետեր `համոզվելու համար, որ մենք գծագրում ենք մանրակրկիտ գրաֆիկ:

  • Եկեք գտնենք y արժեքները հետևյալ x արժեքների համար ՝ 0, 1, -2 և -3:
  • 0 -ի համար f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Մեր կետն է (0, 1).

  • 1 -ի համար f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Մեր կետն է (1, 4).

  • -2 -ի համար: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Մեր կետն է (-2, 1).

  • -3 -ի համար f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Մեր կետն է (-3, 4).

  • Գծապատկերին գծեք այս կետերը և գծեք ձեր U- ձևի կորը: Նկատի ունեցեք, որ պարաբոլան կատարյալ սիմետրիկ է. Երբ պարաբոլայի մի կողմում ձեր կետերն ամբողջ թվեր են, սովորաբար կարող եք նվազեցնել պարաբոլայի համաչափության առանցքի վրա տվյալ կետի ուղղակի արտացոլման աշխատանքը `նույն կետը գտնելու համար պարաբոլայի մյուս կողմում:.

Խորհուրդներ

• Կլորացրեք թվերը կամ օգտագործեք կոտորակներ ՝ ըստ ձեր հանրահաշվի ուսուցչի պահանջի: Սա կօգնի ձեզ ավելի լավ գծագրել քառակուսի հավասարումը:
• Նշենք, որ f (x) = ax- ում² + bx + c, եթե b կամ c հավասար է զրոյի, ապա այս թվերը կվերանան: Օրինակ ՝ 12x² + 0x + 6 -ը դառնում է 12x² + 6, քանի որ 0x- ը 0 է: