«Հավասարումների համակարգում» ձեզանից պահանջվում է միաժամանակ լուծել երկու կամ ավելի հավասարումներ: Երբ երկու հավասարումները ունեն երկու տարբեր փոփոխականներ, օրինակ ՝ x և y, լուծումը սկզբում կարող է դժվար թվալ: Բարեբախտաբար, երբ իմանաք, թե ինչ պետք է անեք, կարող եք պարզապես օգտագործել ձեր հանրահաշվական հմտությունները (և կոտորակների հաշվարկման գիտությունը) խնդիրը լուծելու համար: Նաև սովորեք, թե ինչպես նկարել այս երկու հավասարումները, եթե դուք տեսողական սովորող եք կամ ուսուցչի կողմից պահանջվում է: Գծագրերը կօգնեն ձեզ բացահայտել առարկայի թեման կամ ստուգել ձեր աշխատանքի արդյունքները: Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը ավելի դանդաղ է, քան մյուս մեթոդները և չի կարող օգտագործվել հավասարումների բոլոր համակարգերի համար:
Քայլ
Մեթոդ 1 -ից 3 -ը ՝ Փոխարինման մեթոդի օգտագործումը
Քայլ 1. Փոփոխականները տեղափոխեք հավասարման հակառակ կողմ:
Փոխարինման մեթոդը սկսվում է «x- ի արժեքը» (կամ որևէ այլ փոփոխականի) գտնել հավասարումներից մեկում: Օրինակ, ասենք, որ խնդրի հավասարումը հետևյալն է 4x + 2y = 8 եւ 5x + 3y = 9. Սկսեք աշխատել առաջին հավասարման վրա: Վերադասավորեք հավասարումը ՝ երկու կողմերից հանելով 2y: Այսպիսով, դուք ստանում եք 4x = 8 - 2y.
Այս մեթոդը հաճախ օգտագործում է կոտորակներ վերջում: Եթե ձեզ դուր չի գալիս կոտորակների հաշվարկը, փորձեք ստորև նշված վերացման մեթոդը:
Քայլ 2. Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը `« x- ի արժեքը գտնելու համար »:
Երբ x (կամ ինչ փոփոխական եք օգտագործում) տերմինը միայնակ է հավասարման մի կողմում, հավասարման երկու կողմերը բաժանեք գործակիցներով այնպես, որ մնա միայն փոփոխականը: Որպես օրինակ.
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Քայլ 3. Առաջին արժեքից միացրեք x արժեքը երկրորդ հավասարման մեջ:
Համոզվեք, որ այն միացնում եք երկրորդ հավասարման մեջ, այն մեկի փոխարեն, որի վրա դուք պարզապես աշխատել եք: Փոխարինել (փոխարինել) երկրորդ հավասարման x փոփոխականը: Այսպիսով, երկրորդ հավասարումը այժմ ունի միայն մեկ փոփոխական: Որպես օրինակ.
- Հայտնի է x = 2 - y.
- Ձեր երկրորդ հավասարումը 5x + 3y = 9.
- Երկրորդ հավասարման մեջ x փոփոխականը առաջին հավասարումից x արժեքի հետ փոխանակելուց հետո մենք ստանում ենք «2 - y»: 5 (2 - y) + 3y = 9.
Քայլ 4. Լուծեք մնացած փոփոխականները:
Այժմ, ձեր հավասարումը ունի միայն մեկ փոփոխական: Հաշվիր հավասարումը սովորական հանրահաշվական գործողություններով `փոփոխականի արժեքը գտնելու համար: Եթե երկու փոփոխականները միմյանց չեղյալ են հայտարարում, ապա անմիջապես անցեք վերջին քայլին: Հակառակ դեպքում դուք կստանաք փոփոխականներից մեկի արժեքը.
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Եթե չեք հասկանում այս քայլը, սովորեք ինչպես ավելացնել կոտորակներ):
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Քայլ 5. Օգտագործեք ստացված պատասխանը `առաջին հավասարման մեջ x- ի իրական արժեքը գտնելու համար:
Մի կանգ առեք դեռ, քանի որ ձեր հաշվարկները դեռ ավարտված չեն: Ստացված պատասխանը պետք է միացնեք առաջին հավասարման մեջ `մնացած փոփոխականների արժեքը գտնելու համար.
- Հայտնի է y = -2
- Առաջին հավասարման հավասարումներից մեկն է 4x + 2y = 8. (Դուք կարող եք օգտագործել մեկը կամ մեկը):
- Y փոփոխականը փոխարինել -2 -ով: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Քայլ 6. Իմացեք, թե ինչ անել, եթե երկու փոփոխականները չեղյալ հայտարարեն միմյանց:
Երբ մտնում ես x = 3y+2 կամ երկրորդ հավասարման նմանատիպ պատասխան, ինչը նշանակում է, որ դուք փորձում եք ստանալ հավասարություն, որն ունի միայն մեկ փոփոխական: Երբեմն, պարզապես ստանում ես հավասարումը առանց փոփոխական: Կրկնակի ստուգեք ձեր աշխատանքը և համոզվեք, որ մեկ (երկրորդ) հավասարումը դրել եք (վերադասավորել) երկրորդ հավասարման մեջ ՝ առաջին հավասարումին վերադառնալու փոխարեն: Երբ համոզված եք, որ սխալ բան չեք արել, գրեք հետևյալ արդյունքներից մեկը.
- Եթե հավասարումը չունի փոփոխականներ և իրական չէ (օրինակ ՝ 3 = 5), ապա այս խնդիրը պատասխան չունեն. (Երբ սա պատկերված է, այս երկու հավասարումները զուգահեռ են և երբեք չեն հանդիպում):
- Եթե հավասարումը չունի փոփոխականներ և Իշտ է, (օրինակ ՝ 3 = 3), այսինքն ՝ հարցն ունի անսահմանափակ պատասխաններ. Առաջին հավասարումը նույնն է, ինչ երկրորդ հավասարումը: (Գծագրվելիս այս երկու հավասարումները նույն տողն են):
Մեթոդ 2 -ից 3 -ը `Վերացման մեթոդի օգտագործումը
Քայլ 1. Գտեք փոխադարձ բացառիկ փոփոխականները:
Երբեմն, խնդրի հավասարումը արդեն կա չեղարկել միմյանց երբ գումարվում է: Օրինակ, եթե դուք կատարեք հավասարումը 3x + 2y = 11 եւ 5x - 2y = 13, «+2y» և «-2y» տերմինները կչեղարկեն միմյանց և կհեռացնեն «y» փոփոխականը հավասարումից: Նայեք խնդրի հավասարմանը և տեսեք, թե արդյոք կան փոփոխականներ, որոնք միմյանց չեղարկում են, ինչպես օրինակ: Եթե ոչ, շարունակեք հաջորդ քայլին:
Քայլ 2. Բազմապատկեք հավասարումը մեկով, որպեսզի մեկ փոփոխական հանվի:
(Բաց թողեք այս քայլը, եթե փոփոխականներն արդեն իրար չեղյալ են հայտարարում): Նայեք հետևյալ օրինակներին, որպեսզի դրանք հեշտությամբ հասկանաք.
- Խնդրի հավասարումները հետևյալն են 3x - y = 3 եւ - x + 2y = 4.
- Եկեք փոխենք առաջին հավասարումը այնպես, որ փոփոխականը յ չեղարկել միմյանց: (Դուք կարող եք օգտագործել փոփոխականը x. Ստացված վերջնական պատասխանը նույնն է լինելու)
- Փոփոխական - y առաջին հավասարման մեջ պետք է վերացվի ՝ + 2y երկրորդ հավասարման մեջ: Ինչպես, բազմապատկել - y 2 -ի հետ:
- Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 2 -ով, հետևյալ կերպ. 2 (3x - y) = 2 (3), այնպես որ 6x - 2y = 6. Հիմա, ցեղ - 2 տարի կչեղարկեն միմյանց հետ +2y երկրորդ հավասարման մեջ:
Քայլ 3. Միացրեք երկու հավասարումները:
Հնարքն այն է, որ առաջին հավասարման աջ կողմը ավելացնենք երկրորդ հավասարման աջ կողմին, իսկ առաջին հավասարման ձախ կողմը ավելացնենք երկրորդ հավասարման ձախ կողմին: Correctlyիշտ կատարելու դեպքում փոփոխականներից մեկը կջնջի միմյանց: Փորձենք շարունակել նախորդ օրինակի հաշվարկը.
- Ձեր երկու հավասարումները հետևյալն են 6x - 2y = 6 եւ - x + 2y = 4.
- Երկու հավասարումների ձախ կողմերը գումարեք. 6x - 2y - x + 2y =?
- Երկու հավասարումների աջ կողմերը գումարեք. 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Քայլ 4. Ստացեք վերջին փոփոխականի արժեքը:
Պարզեցրեք ձեր բարդ հավասարումը և աշխատեք ստանդարտ հանրահաշվի հետ `ստանալով վերջին փոփոխականի արժեքը: Եթե պարզեցումից հետո հավասարումը փոփոխականներ չունի, շարունակեք այս բաժնի վերջին քայլին:
Հակառակ դեպքում, դուք կստանաք փոփոխականներից մեկի արժեքը: Որպես օրինակ.
- Հայտնի է 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Խմբի փոփոխականներ x եւ յ միասին: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Պարզեցրեք հավասարումը. 5x = 10
- Գտեք x արժեքը. (5x)/5 = 10/5, ստանալ x = 2.
Քայլ 5. Գտեք մեկ այլ փոփոխականի արժեքը:
Դուք գտել եք մեկ փոփոխականի արժեքը, բայց ինչ վերաբերում է մյուսին: Միացրեք ձեր պատասխանը հավասարումներից մեկին `մնացած փոփոխականի արժեքը գտնելու համար: Որպես օրինակ.
- Հայտնի է x = 2, և խնդրի հավասարումները մեկն է 3x - y = 3.
- Փոխարինեք x փոփոխականը 2 -ով. 3 (2) - y = 3.
- Գտեք y- ի արժեքը հավասարման մեջ. 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, այնպես որ 6 = 3 + y
- 3 = y
Քայլ 6. Իմացեք, թե ինչ անել, երբ երկու փոփոխականները չեղարկում են միմյանց:
Երբեմն երկու հավասարումների համադրումը հանգեցնում է հավասարման, որն անիմաստ է կամ չի օգնում լուծել խնդիրը: Վերանայեք ձեր աշխատանքը, և եթե վստահ եք, որ ոչ մի վատ բան չեք արել, գրեք հետևյալ երկու պատասխաններից մեկը.
- Եթե համակցված հավասարումը չունի փոփոխականներ և իրական չէ (օրինակ ՝ 2 = 7), ապա այս խնդիրը պատասխան չունեն. Այս պատասխանը վերաբերում է երկու հավասարումներին: (Երբ սա պատկերված է, այս երկու հավասարումները զուգահեռ են և երբեք չեն հանդիպում):
- Եթե համակցված հավասարումը չունի փոփոխականներ և Իշտ է, (օր. 0 = 0), այսինքն ՝ այն ունի հարցը անսահմանափակ պատասխաններ. Այս երկու հավասարումները նույնական են միմյանց: (Գծագրվելիս այս երկու հավասարումները նույն տողն են):
Մեթոդ 3 3 -ից. Հավասարումների գրաֆիկ նկարեք
Քայլ 1. Կատարեք այս մեթոդը միայն հրահանգների դեպքում:
Եթե չեք օգտագործում համակարգիչ կամ գրաֆիկական հաշվիչ, այս մեթոդը կարող է տալ միայն մոտավոր պատասխաններ: Ձեր ուսուցիչը կամ դասագիրքը կարող է ձեզ ասել, որ օգտագործեք այս մեթոդը `որպես գծեր հավասարումներ գծելու սովորություն ձեռք բերելու համար: Այս մեթոդը կարող է օգտագործվել նաև վերը նշված մեթոդներից մեկի պատասխանը ստուգելու համար:
Հիմնական գաղափարն այն է, որ դուք պետք է նկարագրեք երկու հավասարումները և գտնեք դրանց հատման կետը: Խաչմերուկի այս կետում x- ի և y- ի արժեքը խնդրի պատասխանն է:
Քայլ 2. Գտեք երկու հավասարումների y- արժեքները:
Մի միացրեք երկու հավասարումները և փոխեք յուրաքանչյուր հավասարումը այնպես, որ ձևաչափը լինի «y = _x + _»: Որպես օրինակ.
- Ձեր առաջին հավասարումը հետևյալն է 2x + y = 5. Փոխել y = -2x + 5.
- Ձեր առաջին հավասարումը հետևյալն է - 3x + 6y = 0. Փոխել 6y = 3x + 0, և պարզեցնել y = x + 0.
- Եթե ձեր երկու հավասարումները լրիվ նույնն են, ամբողջ գիծը երկու հավասարումների «խաչմերուկն» է: Գրեք անսահմանափակ պատասխաններ որպես պատասխան.
Քայլ 3. Նկարեք կոորդինատային առանցքները:
Գրաֆիկական թղթի վրա գծեք ուղղահայաց «y առանցքի» և հորիզոնական «x առանցքի» գիծ: Սկսած երկու առանցքների հատման կետից (0, 0), թվերի պիտակներ գրի՛ր 1, 2, 3, 4 և այլն, հաջորդաբար հաջորդաբար ուղղելով դեպի y առանցքը, իսկ աջ ՝ x առանցքի վրա:. Դրանից հետո գրեք թվային պիտակներ -1, -2 և այլն, հաջորդաբար ՝ հաջորդաբար դեպի ներքև y առանցքի վրա, իսկ դեպի ձախ ՝ x առանցքի վրա:
- Եթե դուք չունեք գրաֆիկական թուղթ, օգտագործեք գծիչ `համոզվելու համար, որ յուրաքանչյուր թվի միջև տարածությունը ճիշտ նույնն է:
- Եթե դուք օգտագործում եք մեծ թվեր կամ տասնորդական թվեր, խորհուրդ ենք տալիս մասշտաբավորել ձեր գրաֆիկը (օրինակ ՝ 10, 20, 30 կամ 0, 1, 0, 2, 0, 3 ՝ 1, 2, 3 -ի փոխարեն):
Քայլ 4. Յուրաքանչյուր հավասարման համար նկարեք y- ընդհատման կետը:
Եթե հավասարումը տեսքով է y = _x + _, կարող եք սկսել գծապատկեր գծել ՝ դարձնելով այն կետը, որտեղ հավասարման գիծը հատվում է y առանցքի հետ: Y- ի արժեքը միշտ նույնն է, ինչ հավասարման վերջին թիվը:
-
Շարունակելով նախորդ օրինակը ՝ առաջին տողը (y = -2x + 5) հատում է y առանցքը at
Քայլ 5.. երկրորդ տող (y = x + 0) հատում է y առանցքը at 0. (Այս կետերը գրված են որպես (0, 5) և (0, 0) գրաֆիկի վրա:)
- Հնարավորության դեպքում նկարեք առաջին և երկրորդ տողերը տարբեր գույնի գրիչներով կամ մատիտներով:
Քայլ 5. Գծը շարունակելու համար օգտագործեք թեքությունը:
Հավասարման ձևաչափով y = _x + _, x- ի դիմաց թիվը ցույց է տալիս գծի «թեքության մակարդակը»: Ամեն անգամ, երբ x- ն ավելանում է մեկով, y- ի արժեքը կավելանա թեքության մակարդակների քանակով: Օգտագործեք այս տեղեկատվությունը ՝ գրաֆիկի յուրաքանչյուր տողի համար կետերը x = 1. գտնելու համար (կարող եք նաև մուտքագրել x = 1 յուրաքանչյուր հավասարման մեջ և գտնել y- ի արժեքը):
- Շարունակելով նախորդ օրինակը ՝ տողը y = -2x + 5 ունի թեքություն - 2. X = 1 կետում գիծը շարժվում է ներքև x = 0. կետից 2 -ով գծեք (0, 5) (1, 3) -ին միացնող գիծ:
- Տող y = x + 0 ունի թեքություն ½. X = 1 -ի դեպքում գիծը շարժվում է հեծնել x = 0 կետից: Գծեք (0, 0) (1,) հետ կապող գիծ:
- Եթե երկու ուղիղ ունեն նույն թեքությունը, երկուսը երբեք չեն հատվի: Այսպիսով, հավասարումների այս համակարգը պատասխան չունի: Գրեք պատասխան չկա որպես պատասխան.
Քայլ 6. Շարունակեք միացնել գծերը մինչև երկու գծերը հատվեն:
Դադարեցրեք աշխատանքը և նայեք ձեր գրաֆիկին: եթե երկու գծերը հատել են միմյանց, շարունակեք հաջորդ քայլին: Եթե ոչ, որոշում կայացրեք ՝ հիմնվելով ձեր երկու տողերի դիրքի վրա.
- Եթե երկու տողերը մոտենում են միմյանց, շարունակեք կապել ձեր շերտերի կետերը:
- Եթե երկու տողերը հեռանում են միմյանցից, հետ գնացեք և միացրեք կետերը հակառակ ուղղություններով ՝ սկսած x = 1 -ից:
- Եթե երկու տողերը շատ հեռու են միմյանցից, փորձեք ցատկել և միացնել կետերը ավելի հեռու, օրինակ ՝ x = 10:
Քայլ 7. Պատասխանը գտեք խաչմերուկում:
Երկու տողերի հատումից հետո այդ պահին x- ի և y- ի արժեքը ձեր խնդրի պատասխանն է: Եթե հաջողակ եք, պատասխանը կլինի ամբողջական թիվ: Օրինակ, մեր օրինակում երկու տողերը հատվում են կետում (2, 1) ուրեմն պատասխանը հետևյալն է x = 2 և y = 1. Հավասարումների որոշ համակարգերում գծի հատման կետը գտնվում է երկու ամբողջ թվերի միջև, և եթե գրաֆիկը այնքան էլ ճշգրիտ չէ, դժվար է հստակ նշել, թե որտեղ են գտնվում x և y արժեքները խաչմերուկի կետում: Եթե թույլատրվում է, որպես պատասխան կարող եք գրել «x- ը 1 -ից 2 -ի միջև է» կամ պատասխանը գտնելու համար օգտագործել փոխարինման կամ վերացման մեթոդը:
Խորհուրդներ
- Դուք կարող եք ստուգել ձեր աշխատանքը ՝ պատասխանը միացնելով սկզբնական հավասարումին: Եթե հավասարումը ճշմարիտ է (օրինակ ՝ 3 = 3), նշանակում է, որ ձեր պատասխանը ճիշտ է:
- Վերացման մեթոդը օգտագործելիս երբեմն ստիպված ես հավասարումը բազմապատկել բացասական թվով, որպեսզի փոփոխականները կարողանան միմյանց չեղարկել:
