Հանրահաշվական հավասարումների գործոնավորման 3 եղանակ

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-15 08:17

Մաթեմատիկայում, ֆակտորինգ թվեր կամ արտահայտություններ գտնելու միջոց է, որոնք բազմապատկելիս կստացվի տվյալ թիվը կամ հավասարումը: Ֆակտորինգը օգտակար հմտություն է ՝ սովորելու լուծել հասարակ հանրահաշվի խնդիրները; լավ գործոնավորելու ունակությունը կարևոր է դառնում քառակուսային հավասարումների և բազմանդամների այլ ձևերի հետ աշխատելիս: Ֆակտորինգը կարող է օգտագործվել հանրահաշվական արտահայտությունները պարզեցնելու համար `դրանց լուծումներն ավելի դյուրին դարձնելու համար: Ֆակտորինգը նույնիսկ կարող է ձեզ վերացնել որոշակի հնարավոր պատասխաններ, շատ ավելի արագ, քան դրանք ձեռքով լուծելը:

Քայլ

Մեթոդ 1 -ը 3 -ից. Թվերի ֆակտորինգ և հասարակ հանրահաշվական արտահայտություններ

Քայլ 1. Հասկացեք ֆակտորինգի սահմանումը, երբ կիրառվում է միայնակ թվերի վրա:

Ֆակտորինգը պարզ հասկացություն է, բայց գործնականում այն կարող է դժվար լինել, երբ կիրառվում է բարդ հավասարումների վրա: Հետևաբար, ամենահեշտն է մոտենալ ֆակտորինգային հասկացությանը ՝ սկսելով պարզ թվերից, այնուհետև անցնելով պարզ հավասարումների ՝ նախքան ավելի բարդ ծրագրերի անցնելը: Թվի գործոնները թվերն են, որոնք բազմապատկելիս տալիս են թիվը: Օրինակ, 12 -ի գործակիցները 1, 12, 2, 6, 3 և 4 են, քանի որ 1 × 12, 2 × 6 և 3 × 4 հավասար են 12 -ի:

• Դրա մասին մտածելու մեկ այլ եղանակ այն է, որ թվի գործոնները թվերն են, որոնք կարող են հավասարաչափ բաժանվել թվի:

• Կարո՞ղ եք գտնել 60 թվի բոլոր գործոնները: Մենք օգտագործում ենք 60 թիվը տարբեր նպատակների համար (րոպե մեկ ժամում, վայրկյան մեկ րոպեում և այլն), քանի որ այն կարելի է բաժանել բավականին շատ այլ թվերի:

  60 -ի գործոններն են ՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 և 60:

Քայլ 2. Հասկացեք, որ փոփոխական արտահայտությունները նույնպես կարող են հաշվի առնվել:

Numbersիշտ այնպես, ինչպես թվերն իրենք կարող են հաշվի առնել, այնպես էլ կարելի է հաշվի առնել թվերի գործակից ունեցող փոփոխականները: Դա անելու համար պարզապես գտեք փոփոխական գործակիցների գործոնները: Փոփոխականի գործոնավորման իմացությունը շատ օգտակար է այդ փոփոխականին առնչվող հանրահաշվական հավասարումների պարզեցման համար:

• Օրինակ, 12x փոփոխականը կարող է գրվել որպես 12 և x գործոնների արտադրյալ: Մենք կարող ենք 12x գրել 3 (4x), 2 (6x) և այլն ՝ օգտագործելով 12 -ի գործոնները, որոնք ավելի լավ են աշխատում մեր նպատակների համար:

  Մենք նույնիսկ կարող ենք 12 անգամ բազմապատկել գործոնը: Այլ կերպ ասած, մենք չպետք է կանգ առնենք 3 (4x) կամ 2 (6x) վրա. Մենք կարող ենք 4x և 6x գործոններով արտադրել 3 (2 (2x) և 2 (3 (2x): Իհարկե, այս երկու արտահայտությունները համարժեք են:

Քայլ 3. Բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը կիրառիր գործոնների հանրահաշվական հավասարումների վրա:

Օգտագործելով ձեր գիտելիքները, թե ինչպես գործակիցներ ունենալ ինչպես միայնակ թվերի, այնպես էլ փոփոխականների վրա, կարող եք պարզեցնել հանրահաշվական հավասարումները ՝ գտնելով այն գործոնները, որոնք թվերն ու փոփոխականները կիսում են հանրահաշվական հավասարումների մեջ: Սովորաբար, հավասարումը պարզեցնելու համար մենք փորձում ենք գտնել ամենամեծ ընդհանուր գործոնը: Այս պարզեցման գործընթացը հնարավոր է բազմապատկման բաշխիչ հատկության պատճառով, որը վերաբերում է ցանկացած a, b և c թվերին: a (b + c) = ab + ac.

• Եկեք փորձենք հարցի օրինակ: 12x + 6 հանրահաշվական հավասարումը գործնականացնելու համար նախ փորձենք գտնել 12x- ի և 6 -ի ամենամեծ ընդհանուր գործոնը: 6 -ը ամենամեծ թիվն է, որը կարող է հավասարաչափ բաժանել 12x- ը և 6 -ը, ուստի կարող ենք պարզեցնել հավասարումը 6 -ի (2x + 1).
• Այս գործընթացը վերաբերում է նաև բացասական թվերով և կոտորակներով հավասարումներին: Օրինակ, x/2 + 4, կարելի է պարզեցնել մինչև 1/2 (x + 8), և -7x + -21 կարելի է գործակից դարձնել մինչև -7 (x + 3):

Մեթոդ 2 3 -ից. Քառակուսային հավասարումների ֆակտորինգ

Քայլ 1. Համոզվեք, որ հավասարումը քառակուսի տեսքով է (կաց² + bx + c = 0):

Քառակուսի հավասարումները ունեն կացնաձև ձև² + bx + c = 0, որտեղ a, b և c թվերի հաստատուններ են և ոչ 0 -ի հավասար (նկատի ունեցեք, որ a- ն հավասար է 1 -ի կամ -1 -ի): Եթե ունեք հավասարություն, որն ունի մեկ փոփոխական (x), որն ունի մեկ տերմին x երկու կամ ավելի հզորության, սովորաբար այս տերմինները տեղափոխում եք հավասարման մեջ ՝ օգտագործելով հանրահաշվական պարզ գործողություններ ՝ հավասարության նշանի և կացինի երկու կողմերում 0 ստանալու համար:²եւ այլն մյուս կողմից.

• Օրինակ, եկեք մտածենք հանրահաշվական հավասարման մասին: 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 -ը կարելի է պարզեցնել x- ի² + 6x + 9 = 0, որը քառակուսի ձև է:
• X- ի ավելի մեծ հզորությամբ հավասարումներ, օրինակ ՝ x³, x⁴եւ այլն քառակուսի հավասարումներ չեն: Այս հավասարումները խորանարդի հավասարումներ են ՝ մինչև չորրորդ հզորություն և այլն, եթե հավասարումը չի կարող պարզեցվել ՝ այս x տերմինները 2 -ից մեծ ուժերով հանելու համար:

Քայլ 2. Քառակուսի հավասարման դեպքում, որտեղ a = 1, գործակիցը (x+d) (x+e), որտեղ d × e = c և d+e = b:

Եթե ձեր քառակուսի հավասարումը x տեսքով է² + bx + c = 0 (այլ կերպ ասած, եթե x տերմինի գործակիցը² = 1), հնարավոր է (բայց երաշխավորված չէ), որ բավականին հեշտ սղագրման մեթոդը կարող է օգտագործվել հավասարումը գործոնավորելու համար: Գտեք երկու թիվ, որոնք բազմապատկելիս տալիս ենք c եւ ավելացվել է արտադրել բ. Այս երկու թվերը d և e որոնելուց հետո դրանք տեղադրեք հետևյալ արտահայտության մեջ. (x+d) (x+e). Այս երկու տերմինները, բազմապատկվելիս, տալիս են ձեր քառակուսի հավասարումը, այլ կերպ ասած ՝ դրանք ձեր քառակուսի հավասարման գործոններն են:

• Օրինակ, եկեք մտածենք x քառակուսի հավասարման մասին² + 5x + 6 = 0. 3 -ը և 2 -ը բազմապատկվում են ՝ տալով 6, ինչպես նաև ավելացվում են ՝ տալով 5, այնպես որ կարող ենք պարզեցնել այս հավասարումը մինչև (x + 3) (x + 2):

• Այս հիմնական սղագրման մեթոդի փոքր տարբերությունը կայանում է հենց նմանությունների տարբերությունների մեջ.

  • Եթե քառակուսի հավասարումը x տեսքով է²-bx+c, ձեր պատասխանը այս տեսքով է ՝ (x - _) (x - _):
  • Եթե հավասարումը x տեսքով է²+ bx + c, ձեր պատասխանը այսպիսին է ՝ (x + _) (x + _):
  • Եթե հավասարումը x տեսքով է²-bx -c, ձեր պատասխանը (x + _) (x -_) տեսքով է:
• Նշում. Բաց թողնված թվերը կարող են լինել կոտորակներ կամ տասնորդականներ: Օրինակ ՝ x հավասարումը² + (21/2) x + 5 = 0 -ը հաշվի է առնվում որպես (x + 10) (x + 1/2):

Քայլ 3. Հնարավորության դեպքում հաշվի առեք ստուգումների միջոցով:

Ուզում եք հավատացեք, ուզում եք ՝ ոչ բարդ քառակուսային հավասարումների դեպքում ֆակտորինգային թույլատրելի մեթոդներից մեկը խնդիրն ուսումնասիրելն է, այնուհետև հաշվի առնել հնարավոր պատասխանները մինչև ճիշտ պատասխանը գտնելը: Այս մեթոդը հայտնի է նաև որպես ֆակտորինգ `քննության միջոցով: Եթե հավասարումը կացնաձև է²+bx +c և a> 1, ձեր գործոնի պատասխանը գտնվում է (dx +/- _) տեսքով (նախկին +/- _), որտեղ d և e են ոչ զրո թվերի հաստատուններ, որոնք բազմապատկելիս տալիս են a: Ոչ d, ոչ էլ (կամ երկուսն էլ) չեն կարող լինել 1, չնայած պարտադիր չէ, որ լինի: Եթե երկուսն էլ 1 -ն են, ապա հիմնականում օգտագործում եք վերը նկարագրված սղագրման մեթոդը:

Եկեք մտածենք խնդրի օրինակով: 3x² - 8x + 4 սկզբում դժվար է թվում: Այնուամենայնիվ, երբ մենք գիտակցենք, որ 3-ն ունի ընդամենը երկու գործոն (3 և 1), այս հավասարումը դառնում է ավելի հեշտ, քանի որ մենք գիտենք, որ մեր պատասխանը պետք է լինի (3x +/- _) (x +/- _): Այս դեպքում, երկու դատարկներին ավելացնելով -2, ճիշտ պատասխան է տրվում: -2 × 3x = -6x և -2 × x = -2x: -6x և -2x գումարվում են մինչև -8x: -2 × -2 = 4, այնպես որ մենք կարող ենք տեսնել, որ փակագծերում տրված տերմինները բազմապատկելիս առաջացնում են սկզբնական հավասարումը:

Քայլ 4. Լուծիր ՝ լրացնելով քառակուսին:

Որոշ դեպքերում քառակուսային հավասարումները կարող են արագ և հեշտությամբ փաստարկվել ՝ օգտագործելով հատուկ հանրահաշվական նույնականություններ: X քառակուսի ցանկացած քառակուսային հավասարում² + 2xh + ժ² = (x + ժ)². Այսպիսով, եթե ձեր հավասարման մեջ ձեր b արժեքը կրկնապատկվի ձեր c արժեքի քառակուսի արմատից, ապա ձեր հավասարումը կարելի է հաշվի առնել (x + (արմատ (c)))².

Օրինակ ՝ x հավասարումը² +6x+9 ունի այս ձևը: 3² 9 է, իսկ 3 × 2 ՝ 6. Այսպիսով, մենք գիտենք, որ այս հավասարման գործոնային ձևն է (x + 3) (x + 3), կամ (x + 3)².

Քայլ 5. Քառակուսային հավասարումները լուծելու համար գործոնների օգտագործումը:

Անկախ նրանից, թե ինչպես եք փաստարկել ձեր քառակուսային հավասարումը, երբ հավասարումը հաշվի առնվի, դուք կարող եք գտնել x արժեքի հնարավոր պատասխաններ `յուրաքանչյուր գործոնը հավասար դարձնելով զրոյի և լուծելով դրանք: Քանի որ դուք փնտրում եք x- ի արժեքը, որը հավասարումը հավասար է զրոյի, ապա x- ի արժեքը, որը ցանկացած գործոն հավասար է զրոյի, ձեր քառակուսի հավասարման հնարավոր պատասխանն է:

Վերադառնանք x հավասարմանը² + 5x + 6 = 0. Այս հավասարումը հաշվի է առնվում (x + 3) (x + 2) = 0. Եթե որևէ գործակիցը հավասար է 0-ի, ապա բոլոր հավասարումները հավասար են 0-ի, ուստի x- ի մեր հնարավոր պատասխանները թվերն են `մի թիվ, որը կազմում է (x + 3) և (x + 2) հավասար են 0. Այս թվերը համապատասխանաբար -3 և -2 են:

Քայլ 6. Ստուգեք ձեր պատասխանները. Որոշ պատասխաններ կարող են ապակողմնորոշիչ լինել:

Երբ գտնեք x- ի հնարավոր պատասխանները, դրանք նորից միացրեք ձեր սկզբնական հավասարումին ՝ տեսնելու համար, թե արդյոք պատասխանը ճիշտ է: Երբեմն, ձեր գտած պատասխանները նորից մուտքագրելիս զրոյին չեն հավասարեցնում սկզբնական հավասարումը: Այս պատասխանը մենք անվանում ենք շեղված և անտեսում այն:

• Եկեք -2 և -3 -ը դնենք x- ում² + 5x + 6 = 0. Նախ, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Այս պատասխանը ճիշտ է, այնպես որ -2 ճիշտ պատասխանը:

• Հիմա եկեք փորձենք -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Այս պատասխանը նույնպես ճիշտ է, ուստի -3 -ը ճիշտ պատասխանն է:

3 -րդ մեթոդ 3 -ից. Այլ հավասարումների ֆակտորինգ

Քայլ 1. Եթե հավասարումը արտահայտված է ա տեսքով²-բ², գործակից (a+b) (a-b):

Երկու փոփոխական ունեցող հավասարումները տարբեր գործոններ ունեն, քան հիմնական քառակուսային հավասարումը: Հավասարման համար ա²-բ² ցանկացած բան, որտեղ a և b հավասար չեն 0-ի, հավասարման գործոններն են (a+b) (a-b):

Օրինակ ՝ 9x հավասարումը² - 4 տարի² = (3x + 2y) (3x - 2y):

Քայլ 2. Եթե հավասարումը արտահայտված է ա տեսքով²+2 աբ+բ², գործակից (a+b)².

Նկատի ունեցեք, որ եթե եռանկյունը ա ձևից է²-2 աբ+բ², ձևի գործոնները մի փոքր տարբեր են. (ա-բ)².

4x հավասարություն² + 8xy + 4y² կարող է վերաշարադրվել 4 անգամ² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Այժմ մենք կարող ենք տեսնել, որ ձևը ճիշտ է, այնպես որ կարող ենք վստահ լինել, որ մեր հավասարման գործոններն են (2x + 2y)²

Քայլ 3. Եթե հավասարումը արտահայտված է ա տեսքով³-բ³, գործակից (a-b) (a²+աբ+բ²).

Ի վերջո, արդեն նշվեց, որ խորանարդի հավասարումները և նույնիսկ ավելի մեծ հզորությունները կարելի է փաստել, չնայած ֆակտորինգային գործընթացը շատ արագ դառնում է շատ բարդ:

Օրինակ ՝ 8x³ - 27 տարեկան³ հաշվի է առնվում (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Խորհուրդներ

• ա²-բ² կարելի է հաշվի առնել, ա²+բ² հնարավոր չէ հաշվի առնել
• Հիշեք, թե ինչպես ֆիքսել հաստատունը: Սա կարող է օգնել:
• Theգույշ եղեք ֆակտորինգի գործընթացում կոտորակների հետ և ճիշտ և զգույշ աշխատեք կոտորակների հետ:
• Եթե ունեք x ձևի եռյակ²+ bx+ (b/2)², ձևի գործոնը (x+(b/2))². (Քառակուսին ավարտելիս կարող եք հանդիպել այս իրավիճակին):
• Հիշեք, որ a0 = 0 (զրոյի արտադրյալի հատկությունը):