Եռագոյն գործօնաւորելու 3 եղանակ

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-15 08:17

Եռանկյունը հանրահաշվական արտահայտություն է, որը բաղկացած է երեք տերմիններից: Ամենայն հավանականությամբ, դուք կսկսեք սովորել, թե ինչպես գործոնավորել քառակուսային եռանուն, այսինքն ՝ եռյակ ՝ գրված կացին ձևով² + բ x + գ Սովորելու համար կան մի քանի հնարքներ, որոնք կարող են օգտագործվել քառակուսի եռանկյունների շատ տարբեր տեսակների համար, սակայն դրանք ավելի լավ և արագ կիրականացնեք պրակտիկայով: Բարձր կարգի բազմանդամներ ՝ x- ի նման տերմիններով³ կամ x⁴, միշտ չէ, որ կարող է լուծվել նույն ձևով, բայց հաճախ կարող եք օգտագործել պարզ ֆակտորինգ կամ փոխարինում ՝ այն վերածելու խնդրի, որը կարող է լուծվել ինչպես ցանկացած այլ քառակուսի բանաձև:

Քայլ

Մեթոդ 1 -ը ՝ 3 -ից² + բ x + գ

Քայլ 1. Սովորեք PLDT բազմապատկում:

Հավանաբար, դուք սովորել եք, թե ինչպես բազմապատկել PLDT- ը, կամ «Առաջին, դրսից, ներսում, վերջին» -ում (x+2) (x+4) արտահայտությունների բազմապատկումը: Օգտակար է իմանալ, թե ինչպես է աշխատում այս բազմապատկումը, նախքան գործոնը որոշելը.

Multեղերը բազմապատկեք Առաջին: (x+2)(x+4) = x² + _
Multեղերը բազմապատկեք Դրսում: (x+2) (x+

Քայլ 4.) = x²+ 4x + _
Multեղերը բազմապատկեք Մեջ: (x+

Քայլ 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _
Multեղերը բազմապատկեք Վերջնական: (x+

Քայլ 2.) (x

Քայլ 4.) = x²+4x+2x

Քայլ 8.
Պարզեցրեք ՝ x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Քայլ 2. Հասկացեք ֆակտորինգը:

Երբ PLDT մեթոդով երկու երկանդամ բազմապատկում եք, ստանում եք եռանիշ (արտահայտություն երեք տերմիններով) x տեսքով²+ b x+ c, որտեղ a, b և c սովորական թվեր են: Եթե սկսեք նույն ձևով հավասարումից, կարող եք այն դարձնել երկու երկանիշ:

Եթե հավասարումները գրված չեն այս հերթականությամբ, վերադասավորեք հավասարումները, որպեսզի նրանք ունենան այս կարգը: Օրինակ ՝ վերաշարադրել 3x - 10 + x² Դառնում է x² + 3x - 10.
Քանի որ ամենաբարձր հզորությունը 2 է (x², արտահայտության այս տեսակը կոչվում է քառակուսի:

Քայլ 3. Պատասխանի համար թողեք դատարկ տարածք PLDT բազմապատկման տեսքով:

Առայժմ, պարզապես գրեք (_ _)(_ _) որտեղ կգրես պատասխանը: Մենք կլրացնենք այն աշխատելիս

Մի գրեք + կամ - դատարկ տերմինների միջև, քանի որ մենք դեռ չգիտենք ճիշտ նշանը:

Քայլ 4. Լրացրեք առաջին պայմանները:

Պարզ խնդիրների դեպքում ձեր եռանկյունի առաջին տերմինը պարզապես x է², Առաջին դիրքի պայմանները միշտ են x եւ x. Սրանք x տերմինի գործոններն են² քանի որ x անգամ x = x².

Մեր օրինակը x² + 3x - 10 սկսած x- ից², այնպես որ կարող ենք գրել.
(x _) (x _)
Հաջորդ բաժնում մենք կաշխատենք ավելի բարդ խնդիրների վրա, ներառյալ եռանկյունները ՝ սկսած 6x տերմիններով² կամ -x². Մինչդեռ, հետևեք այս օրինակելի հարցերին:

Քայլ 5. Վերջին պայմանները կռահելու համար օգտագործեք ֆակտորինգը:

Եթե վերադառնաք և կարդաք PLDT- ի բազմապատկման քայլերը, կտեսնեք, որ Վերջին տերմինները բազմապատկելով ՝ կստեղծվի բազմանդամի վերջին տերմինը (տերմիններ, որոնք չունեն x): Այսպիսով, գործոն ունենալու համար մենք պետք է գտնենք երկու թիվ, որոնք բազմապատկելիս կստեղծի վերջին տերմինը:

Մեր օրինակում x² + 3x - 10, վերջին տերմինը `-10:
Որո՞նք են -10 գործոնների գործոնները: Ո՞ր թիվն է բազմապատկվում -10 -ով:
Կան մի քանի հնարավորություններ ՝ -1 անգամ 10, 1 անգամ -10, -2 անգամ 5 կամ 2 անգամ -5: Գրեք այս զույգերը ինչ -որ տեղ դրանք հիշելու համար:
Դեռ մի փոխեք մեր պատասխանը: Մեր պատասխանը դեռ պետք է ունենա այս տեսքը. (x _) (x _).

Քայլ 6. Փորձարկեք արտաքին և ներքին արտադրանքին համապատասխանող հնարավորությունները:

Մենք կրճատել ենք Վերջին պայմանները ՝ հասցնելով մի քանի հնարավորությունների: Փորձնական համակարգով փորձարկեք յուրաքանչյուր հնարավորություն ՝ բազմապատկելով Արտաքին և Ներքին տերմինները և համեմատելով արտադրանքը մեր եռանունի հետ: Օրինակ:

Մեր սկզբնական խնդիրը 3x- ի դեպքում ուներ «x» տերմինը, ուստի մեր փորձարկման արդյունքները պետք է համապատասխանեն այս տերմինին:
Թեստեր -1 և 10 ՝ (x -1) (x+10): Դրսում + Ներսում = 10x - x = 9x: Սխալ.
Թեստեր 1 և -10 ՝ (x+1) (x -10): -10x + x = -9x: Սա սխալ է. Իրականում, եթե փորձարկեք -1 -ը և 10 -ը, կգտնեք, որ 1 -ը և -10 -ը վերը նշված պատասխանի հակառակն են. -9x 9x- ի փոխարեն:
-2 և 5 թեստեր (x -2) (x+5): 5x - 2x = 3x Արդյունքը համապատասխանում է սկզբնական բազմանդամին, ուստի ահա ճիշտ պատասխանը. (x-2) (x+5).
Նման պարզ դեպքերում, եթե x տերմինի դիմաց հաստատուն չունես², կարող եք օգտագործել արագ ճանապարհը. պարզապես գումարեք երկու գործոնը և դրա հետևում դրեք «x» (-2+5 → 3x): Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը չի գործում ավելի բարդ խնդիրների դեպքում, ուստի ավելի լավ է հիշել վերը նկարագրված «երկար ճանապարհը»:

Մեթոդ 2 -ից 3 -ը

Քայլ 1. Օգտագործեք պարզ ֆակտորինգ `ավելի բարդ խնդիրները ավելի պարզեցնելու համար:

Օրինակ ՝ պետք է գործոն կազմել 3x² + 9x - 30. Գտեք մի թիվ, որը կարող է գործածել բոլոր երեք տերմինները («ամենամեծ ընդհանուր գործոնը» կամ GCF): Այս դեպքում GCF- ն 3 է.

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Այսպիսով, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10): Մենք կարող ենք գործի դնել նոր եռանկյունը ՝ օգտագործելով վերևի բաժնի քայլերը: Մեր վերջնական պատասխանը կլինի (3) (x-2) (x+5).

Քայլ 2. Փնտրեք ավելի բարդ գործոններ:

Երբեմն, ֆակտորինգը կարող է ներառել փոփոխական, կամ գուցե անհրաժեշտ լինի մի քանի անգամ գործոն վերցնել ՝ հնարավորինս պարզագույն արտահայտությունը գտնելու համար: Ահա մի քանի օրինակ.

2x²y + 14xy + 24y = (2 տարի)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Չմոռանաք նոր եռանկյունը վերափոխել ՝ օգտագործելով Մեթոդ 1 -ի քայլերը: Ստուգեք ձեր աշխատանքը և նման խնդիրների օրինակներ փնտրեք այս էջի ներքևի մասում գտնվող ընտրանքային հարցերում:

Քայլ 3. x- ի դիմաց մի շարք թվերով խնդիրներ լուծիր².

Որոշ քառակուսային եռանկյուններ չեն կարող կրճատվել մինչև խնդրի ամենահեշտ տեսակը: Իմացեք, թե ինչպես լուծել 3x- ի նման խնդիրները² + 10x + 8, այնուհետև զբաղվեք ինքնուրույն ՝ այս էջի ներքևում գտնվող ընտրանքային հարցերով.

Սահմանեք մեր պատասխանը ՝ (_ _)(_ _)
Մեր «Առաջին» տերմինները կունենան մեկական x, և դրանք բազմապատկելը տալիս է 3x². Կա միայն մեկ հնարավորություն. (3x _) (x _).
Թվարկեք 8. գործակիցները: Գործակիցները 1 անգամ 8 կամ 2 անգամ 4 են:
Ստուգեք այս հնարավորությունը ՝ օգտագործելով արտաքին և ներքին տերմինները: Նկատի ունեցեք, որ գործոնների հերթականությունը շատ կարևոր է, քանի որ արտաքին տերմինը x- ի փոխարեն բազմապատկվում է 3x- ով: Փորձեք ամեն հնարավորություն, մինչև դուրս գաք+In = 10x (սկզբնական խնդրից).
(3x+1) (x+8) 24x+x = 25x ոչ
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x ոչ
(3x+2) (x+4) 12x+2x = 14x ոչ
(3x+4) (x+2) 6x+4x = 10x այո. Սա է ճիշտ գործոնը:

Քայլ 4. Օգտագործեք փոխարինում ավելի բարձր կարգի եռանկյունների համար:

Ձեր մաթեմատիկական գիրքը կարող է ձեզ զարմացնել բարձր ուժերով հավասարումներով, օրինակ ՝ x⁴, նույնիսկ այն բանից հետո, երբ դուք օգտագործում եք պարզ ֆակտորինգ `խնդիրը հեշտացնելու համար: Փորձեք փոխարինել նոր փոփոխականով, որը այն վերածում է խնդրի, որը դուք գիտեք, թե ինչպես լուծել: Օրինակ:

x⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
Եկեք ստեղծենք նոր փոփոխական: Ասենք y = x² և դրեց մեջը.
(x) (y²+13 տարեկան+36)
= (x) (y+9) (y+4): Այժմ, այն վերափոխեք սկզբնական փոփոխականի:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

3 -ից 3 -րդ մեթոդ. Հատուկ դեպքերի ֆակտորինգ

Քայլ 1. Գտնել պարզ թվեր:

Նայիր ՝ տեսնելու, արդյոք եռանկյունի առաջին կամ երրորդ տերմինի հաստատունը պարզ թիվ է: Պարզ թիվը բաժանվում է միայն իր և 1 -ի վրա, ուստի գոյություն ունի երկակի գործոնների միայն մեկ հնարավոր զույգ:

Օրինակ, x- ում² + 6x + 5, 5 -ը պարզ թիվ է, ուստի երկվանումը պետք է լինի (_ 5) (_ 1) ձևից:
3x- ի խնդրում²+10x+8, 3 -ը պարզ թիվ է, ուստի երկվանումը պետք է լինի (3x _) (x _) տեսքով:
Հարցերի համար 3x²+4x+1, և 3 -ը և 1 -ը պարզ թվեր են, ուստի միակ հնարավոր լուծումը (3x+1) (x+1) է: (Դուք դեռ պետք է բազմապատկեք այս թիվը ՝ ձեր պատասխանը ստուգելու համար, քանի որ որոշ արտահայտություններ ընդհանրապես հնարավոր չէ ֆակտոր անել, օրինակ ՝ 3x²+100x+1 գործոն չունի)

Քայլ 2. Պարզեք, արդյոք եռանկյունը կատարյալ քառակուսի է:

Կատարյալ քառակուսի եռանկյունը կարելի է հաշվի առնել երկու նույնական երկակի, և գործակիցը սովորաբար գրվում է որպես (x+1)² և ոչ (x+1) (x+1): Ահա մի քանի օրինակ, որոնք հակված են հայտնվել հարցերի մեջ.

x²+2x+1 = (x+1)², և x²-2x+1 = (x-1)²
x²+4x+4 = (x+2)², և x²-4x+4 = (x-2)²
x²+6x+9 = (x+3)², և x²-6x+9 = (x-3)²
Կատարյալ քառակուսի եռանիշ ՝ x տեսքով² + bx + c միշտ ունի a և c տերմիններ, որոնք դրական կատարյալ քառակուսիներ են (օրինակ ՝ 1, 4, 9, 16 կամ 25) և մեկ տերմին b (դրական կամ բացասական), որը հավասար է 2 -ի (√a * √c).

Քայլ 3. Պարզեք, արդյոք խնդիրը լուծում չունի:

Ոչ բոլոր եռանկյուններն են հնարավոր հաշվի առնել: Եթե դուք չեք կարող գործոն դնել քառակուսային եռանշանի վրա (կացին²+bx+գ), պատասխանը գտնելու համար օգտագործիր քառակուսի բանաձևը: Եթե միակ պատասխանը բացասական թվի քառակուսի արմատն է, ապա իրական թվերի լուծում չկա, ապա խնդիրը գործոններ չունի:

Ոչ քառակուսի եռանկյունների համար օգտագործեք Էյզենշտեյնի չափանիշը, որը նկարագրված է Tips բաժնում:

Պատասխաններ և օրինակելի հարցեր

Պատասխաններ «բարդ ֆակտորինգային» հարցերի:

Սրանք հարցեր են «ավելի բարդ գործոնների» քայլից: Մենք պարզեցրել ենք խնդիրները ավելի հեշտ խնդիրների, այնպես որ փորձեք լուծել դրանք ՝ օգտագործելով 1 -ին մեթոդի քայլերը, այնուհետև ստուգեք ձեր աշխատանքը այստեղ ՝
- (2 տարի) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Փորձեք ավելի բարդ ֆակտորինգային խնդիրներ:

Այս խնդիրները յուրաքանչյուր տերմինի մեջ ունեն նույն գործոնը, որը պետք է առաջին հերթին հաշվի առնել: Արգելափակեք դատարկությունները հավասարության նշանից հետո ՝ պատասխանները տեսնելու համար, որպեսզի կարողանաք ստուգել ձեր աշխատանքը.
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) պատասխանը տեսնելու համար արգելափակել դատարկը
- -5x³յ²+30x²յ²-25 տարի²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
Ractբաղվեք հարցերի օգտագործմամբ. Այս խնդիրները չեն կարող հաշվի առնվել ավելի հեշտ հավասարումների մեջ, այնպես որ դուք ստիպված կլինեք գտնել պատասխանը (_x + _) (_ x + _) ձևով ՝ օգտագործելով փորձություն և սխալ.
- 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) պատասխանը տեսնելու համար
- 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Հուշում. Դուք կարող եք փորձել մեկից ավելի գործոնների զույգ 9 անգամ):
Խորհուրդներ
- Եթե չեք կարողանում պարզել, թե ինչպես կարելի է ֆակտոր անել քառակուսային եռանշանը (կաց²+bx+գ), x- ը գտնելու համար կարող եք օգտագործել քառակուսի բանաձևը:
- Թեև ձեզ հարկավոր չէ իմանալ, թե ինչպես դա անել, կարող եք օգտագործել Էյզենշտեյնի չափանիշները ՝ արագ որոշելու համար, թե արդյոք բազմանդամը չի կարող պարզեցվել և հաշվի առնել: Այս չափանիշը վերաբերում է ցանկացած բազմանդամին, բայց լավագույնս օգտագործվում է եռանկյունների համար: Եթե կա մի պարզ թիվ p, որը հավասարապես բաժանում է վերջին երկու տերմինները և բավարարում է հետևյալ պայմանները, ապա բազմանդամը չի կարող պարզեցվել.
  - Հաստատուն տերմինները (առանց փոփոխականների) p- ի բազմապատիկն են, բայց ոչ p- ի բազմապատիկը².
  - Նախածանցը (օրինակ ՝ a in ax²+bx+գ) p- ի բազմապատիկը չէ:
  - Օրինակ ՝ 14x² +45x +51 հնարավոր չէ պարզեցնել, քանի որ կա պարզ թիվ (3), որը կարելի է բաժանել և՛ 45 -ի, և՛ 51 -ի, բայց չի բաժանվում 14 -ի, իսկ 51 -ը չի բաժանվում 3 -ի:².
Գուշացում

Թեև դա ճիշտ է քառակուսային եռանկյունիների դեպքում, այն եռանկյունը, որը կարելի է ֆակտոր անել, պարտադիր չէ, որ երկու երկակի անվանումների արդյունք լինի: Օրինակ ՝ x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23):