Հաշվարկից բխելու 4 եղանակ

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-19 22:12

Ածանցյալները կարող են օգտագործվել գրաֆիկից օգտակար բնութագրեր ստանալու համար, ինչպիսիք են առավելագույնը, նվազագույնը, գագաթը, միջանցքը և թեքության արժեքները: Դուք նույնիսկ կարող եք այն օգտագործել առանց բարդ գրաֆիկական հաշվիչի գրաֆիկական բարդ հավասարումների: Unfortunatelyավոք, ածանցյալ գործիքների վրա աշխատելը հաճախ հոգնեցուցիչ է, բայց այս հոդվածը կօգնի ձեզ որոշ խորհուրդներով և հնարքներով:

Քայլ

Քայլ 1. Հասկացեք ստացված նշումը:

Հետևյալ երկու նշումները ամենից հաճախ օգտագործվում են, թեև շատ ուրիշներ կարելի է գտնել այստեղ ՝ Վիքիպեդիայում:

• Լայբնիցի նշումը Այս նշումը ամենից հաճախ օգտագործվող նշումն է, երբ հավասարումը ներառում է y և x: dy/dx բառացի նշանակում է y- ի ածանցյալը x- ի նկատմամբ: Կարող է օգտակար լինել այն համարել y/Δx x- ի և y- ի շատ տարբեր արժեքների համար: Այս բացատրությունը բերում է ածանցյալ սահմանի `lim- ի սահմանմանը_{h-> 0} (f (x+h) -f (x))/ժ Այս նշումը երկրորդ ածանցյալի համար օգտագործելիս պետք է գրել ՝ դ²y/dx².
• Lagrange Նշում f գործառույթի ածանցյալը նույնպես գրվում է f '(x) տեսքով: Այս նշումը կարդացվում է f ընդգծված x- ով: Այս նշումը ավելի կարճ է, քան Լայբնիցի նշումը և օգտակար է ածանցյալները որպես գործառույթներ դիտելիս: Ածանցյալի ավելի մեծ աստիճան կազմելու համար պարզապես ավելացրեք 'f- ին, այնպես որ երկրորդ ածանցյալը կլինի f' '(x):

Քայլ 2. Հասկացեք ածանցյալի իմաստը և ծագման պատճառները:

Նախ, գծային գրաֆիկի թեքությունը գտնելու համար գծի երկու կետ են վերցվում, և դրանց կոորդինատները մուտքագրվում են հավասարման մեջ (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁): Այնուամենայնիվ, այն կարող է օգտագործվել միայն գծային գրաֆիկների համար: Քառակուսային և ավելի բարձր հավասարումների դեպքում գիծը կլինի կոր, այնպես որ երկու կետերի միջև տարբերությունը գտնելը այնքան էլ ճշգրիտ չէ: Կապի գրաֆիկի մեջ շոշափման թեքությունը գտնելու համար վերցվում են երկու կետեր և դրվում ընդհանուր հավասարում `կոր գրաֆիկի թեքությունը գտնելու համար. [F (x + dx) - f (x)]/dx: Dx նշանակում է դելտա x, որը գրաֆիկի երկու կետերում երկու x կոորդինատների տարբերությունն է: Նշենք, որ այս հավասարումը նույնն է, ինչ (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), միայն այլ տեսքով: Քանի որ հայտնի էր, որ արդյունքները ճշգրիտ չեն լինելու, կիրառվեց անուղղակի մոտեցում: (X, f (x)) վրա շոշափման թեքությունը գտնելու համար dx- ը պետք է մոտ լինի 0 -ին, որպեսզի երկու գծված կետերը միաձուլվեն մեկ կետի մեջ: Այնուամենայնիվ, դուք չեք կարող բաժանել 0-ը, այնպես որ երկու կետանոց արժեքները մուտքագրելուց հետո ստիպված կլինեք օգտագործել ֆակտորինգ և այլ մեթոդներ ՝ հանելու համար dx հավասարման ներքևից: Դա անելուց հետո կատարեք dx 0 և ավարտված է: Սա շոշափման թեքությունն է (x, f (x)) վրա: Հավասարման ածանցյալը գրաֆիկի վրա ցանկացած շոշափի թեքություն գտնելու ընդհանուր հավասարումն է: Սա կարող է շատ բարդ թվալ, բայց ստորև բերված են մի քանի օրինակներ, որոնք կօգնեն բացատրել, թե ինչպես ստանալ ածանցյալը:

Մեթոդ 1 4 -ից. Բացահայտ ածանցյալներ

Քայլ 1. Օգտագործեք բացահայտ ածանցյալ, եթե ձեր հավասարման մեջ արդեն կա մի կողմը y:

Քայլ 2. Միացրեք հավասարումը [f (x + dx) - f (x)]/dx հավասարման մեջ:

Օրինակ, եթե հավասարումը y = x է²ածանցյալը կլինի [(x + dx)² - x²]/օր

Քայլ 3. Ընդլայնել և հեռացնել dx ՝ հավասարություն [dx (2x + dx)]/dx:

Այժմ կարող եք երկու dx գցել վերևի և ներքևի մասում: Արդյունքը 2x + dx է, և երբ dx- ն մոտենում է զրոյի, ածանցյալը 2x է: Սա նշանակում է, որ y = x գրաֆիկի ցանկացած շոշափի թեքություն² 2x է Պարզապես մուտքագրեք x- արժեքը այն կետի համար, որի համար ցանկանում եք գտնել թեքությունը:

Քայլ 4. Սովորեք նմանատիպ հավասարումներ ստանալու օրինաչափություններ:

Ահա մի քանի օրինակ:

• Expանկացած ցուցիչ այն ուժն է, որը արժեքը բազմապատկում է 1 -ից պակաս հզորության: Օրինակ ՝ x- ի ածանցյալը⁵ 5x է⁴, և x- ի ածանցյալը^{3, 5} iis3, 5x^{2, 5}. Եթե x- ի դիմաց արդեն կա մի թիվ, պարզապես այն բազմապատկեք ուժով: Օրինակ ՝ 3x- ի ածանցյալը⁴ 12x է³.
• Constantանկացած հաստատունի ածանցյալը զրո է: Այսպիսով, 8 -ի ածանցյալը 0 է:
• Գումարի ածանցյալը համապատասխան ածանցյալների գումարն է: Օրինակ ՝ x- ի ածանցյալը³ + 3x² 3x է² + 6x
• Արտադրանքի ածանցյալը առաջին գործակիցն է երկրորդ գործոնի ածանցյալին գումարած երկրորդ գործակիցը առաջին գործոնի ածանցյալը: Օրինակ ՝ x- ի ածանցյալը³(2x + 1) x է³(2) + (2x + 1) 3x², որը հավասար է 8x³ + 3x².
• Գործակիցի ածանցյալը (ասենք, f/g) է [g (f- ի ածանցյալը) - f (g- ի ածանցյալը]/g². Օրինակ ՝ ածանցյալը (x² + 2x - 21)/(x - 3) է (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

Մեթոդ 2 4 -ից. Անուղղակի ածանցյալներ

Քայլ 1. Օգտագործեք անուղղակի ածանցյալներ, եթե ձեր հավասարումը արդեն չի կարող գրվել y- ով մի կողմից:

Իրականում, եթե դուք գրեիք y մի կողմում, dy/dx հաշվարկը հոգնեցուցիչ կլիներ: Ահա մի օրինակ, թե ինչպես կարող եք լուծել այս տեսակի հավասարումները:

Քայլ 2. Այս օրինակում x²y + 2y³ = 3x + 2y, y- ը փոխարինեք f (x) - ով, այնպես որ կհիշեք, որ y- ն իրականում գործառույթ է:

Հետո հավասարումը դառնում է x²f (x) + 2 [f (x)]³ = 3x + 2f (x):

Քայլ 3. Այս հավասարման ածանցյալը գտնելու համար հավասարման երկու կողմերը բխիր x- ի նկատմամբ:

Հետո հավասարումը դառնում է x²f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]²f '(x) = 3 + 2f' (x):

Քայլ 4. f (x) - ը կրկին փոխարինեք y- ով:

Carefulգուշացեք չփոխարինել f '(x) - ը, որը տարբերվում է f (x) - ից:

Քայլ 5. Գտնել f '(x):

Այս օրինակի պատասխանը դառնում է (3 - 2xy)/(x² + 6 տարեկան² - 2).

Մեթոդ 3 4 -ից. Բարձր կարգի ածանցյալներ

Քայլ 1. Ավելի բարձր կարգի գործառույթ ստանալը նշանակում է, որ դուք բխում եք ածանցյալից (2 -րդ կարգի):

Օրինակ, եթե խնդիրը խնդրում է ձեզ բխեցնել երրորդ կարգից, ապա պարզապես վերցրեք ածանցյալի ածանցյալի ածանցյալը: Որոշ հավասարումների դեպքում ավելի բարձր կարգի ածանցյալը կլինի 0:

Մեթոդ 4 -ից 4 -ը. Շղթայի կանոն

Քայլ 1. Եթե y- ն z- ի դիֆերենցիալ գործառույթ է, իսկ z- ն x- ի դիֆերենցիալ գործառույթ է, y- ն x- ի բաղադրյալ գործառույթ է, իսկ y- ի ածանցյալը x- ի նկատմամբ (dy/dx) `(dy/du)* (du/dx):

Շղթայի կանոնը կարող է լինել նաև ուժային հավասարումների համադրություն, ինչպիսին է սա (2x⁴ - x)³. Ածանցյալը գտնելու համար պարզապես մտածեք դրա մասին, ինչպես բազմապատկման կանոնը: Բազմապատկեք հավասարումը հզորության վրա և 1 -ով նվազեցրեք հզորությանը: Այնուհետև հավասարումը բազմապատկեք փակագծերում գտնվող հավասարման ածանցյալով, որը բարձրացնում է ուժը (այս դեպքում ՝ 2x^4 - x): Այս հարցի պատասխանը 3 է (2x⁴ - x)²(8x³ - 1).

Խորհուրդներ

• Ամեն անգամ, երբ լուծման դժվար խնդիր եք տեսնում, մի անհանգստացեք: Պարզապես փորձեք այն հնարավորինս շատ փոքր մասերի բաժանել ՝ կիրառելով բազմապատկման, գործակցի և այլն կանոնները: Այնուհետև յուրաքանչյուր մաս իջեցրեք:
• Ractբաղվեք բազմապատկման կանոնով, գործակիցի կանոնով, շղթայի կանոնով և հատկապես, անուղղակի ածանցյալներով, քանի որ այդ կանոնները շատ ավելի դժվար են հաշվարկում:
• Լավ հասկացեք ձեր հաշվիչը; փորձեք ձեր հաշվիչի տարբեր գործառույթները `սովորելու, թե ինչպես օգտագործել դրանք: Շատ օգտակար է իմանալ, թե ինչպես օգտագործել շոշափողներն ու ածանցյալ գործառույթները ձեր հաշվիչում, եթե դրանք առկա են:
• Հիշեք հիմնական եռանկյունաչափական ածանցյալները և ինչպես օգտագործել դրանք: