Կան մի քանի մաթեմատիկական գործառույթներ, որոնք օգտագործում են գագաթներ: Երկրաչափական պատկերն ունի մի քանի գագաթ, անհավասարությունների համակարգն ունի մեկ կամ ավելի գագաթներ, իսկ պարաբոլան կամ քառակուսի հավասարումը նույնպես ունեն գագաթներ: Ինչպես գտնել գագաթներ, կախված է իրավիճակից, բայց ահա մի քանի բան, որ պետք է իմանաք յուրաքանչյուր սցենարում գագաթներ գտնելու մասին:
Քայլ
Մեթոդ 1 -ը ՝ 5 -ից. Գտնել ձևի մեջ ուղղահայացների թիվը
Քայլ 1. Իմացեք Էյլերի բանաձևը:
Էյլերի բանաձևը, ինչպես նշված է երկրաչափության կամ գրաֆիկների մեջ, ասում է, որ ցանկացած ձևի համար, որն իրեն շոշափելի չէ, եզրերի թիվը գումարած գագաթների թիվը, հանած եզրերի թիվը, միշտ հավասար կլինի երկուսի:
-
Եթե գրված է հավասարման տեսքով, բանաձևը այսպիսին է. F + V - E = 2
- F- ն վերաբերում է կողմերի քանակին:
- V- ը վերաբերում է գագաթների կամ գագաթների թվին
- E- ն վերաբերում է կողերի քանակին
Քայլ 2. Փոխեք բանաձևը ՝ գագաթների թիվը գտնելու համար:
Եթե գիտեք մի կողմի և եզրերի քանակը, ապա կարող եք արագ հաշվարկել գագաթների թիվը ՝ օգտագործելով Էյլերի բանաձևը: Հավասարման երկու կողմերից հանել F- ն և երկու կողմերում ավելացնել E- ն ՝ թողնելով V- ը մի կողմում:
V = 2 - F + E
Քայլ 3. Մուտքագրեք հայտնի թվերը և լուծեք:
Այս պահին անհրաժեշտ է ընդամենը միացնել կողմերի և եզրերի քանակը հավասարման մեջ, նախքան նորմալ ավելացնելը կամ հանումը: Ստացված պատասխանը գագաթների թիվն է և դրանով լուծում է խնդիրը:
-
Օրինակ ՝ ուղղանկյունի համար, որն ունի 6 կողմ և 12 եզր…
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
Մեթոդ 2 5 -ից. Գծային անհավասարության համակարգում գագաթների որոնում
Քայլ 1. Նկարիր գծային անհավասարությունների համակարգի լուծումը:
Որոշ դեպքերում, համակարգի բոլոր անհավասարությունների լուծումներ գծելը կարող է տեսողականորեն ցույց տալ որոշ կամ նույնիսկ բոլոր գագաթները: Այնուամենայնիվ, եթե չես կարող, ապա պետք է գագաթը հանրահաշվականորեն գտնես:
Եթե անհավասարությունը գծելու համար օգտագործում եք գրաֆիկական հաշվիչ, կարող եք էկրանով սահեցնել վերև դեպի գագաթնակետ և այդպես գտնել դրա կոորդինատները:
Քայլ 2. Անհավասարությունը վերածեք հավասարման:
Անհավասարությունների համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ է անհավասարությունները ժամանակավորապես վերածել հավասարումների, որպեսզի գտնեք արժեքը x եւ յ.
-
Օրինակ ՝ Անհավասարությունների համակարգի համար.
- y <x
- y> -x + 4
-
Փոխեք անհավասարությունը հետևյալի.
- y = x
- y> -x + 4
Քայլ 3. Մեկ փոփոխականի փոխարինումը մեկ այլ փոփոխականի:
Չնայած լուծման այլ եղանակներ կան x եւ յ, փոխարինումը հաճախ ամենադյուրին ճանապարհն է: Մուտքագրեք արժեքը յ մի հավասարումից մյուսը, ինչը նշանակում է «փոխարինել» յ -ի արժեքով մեկ այլ հավասարման մեջ x.
-
Օրինակ. Եթե.
- y = x
- y = -x + 4
-
Այսպիսով, y = -x + 4 կարող է գրվել հետևյալ կերպ.
x = -x + 4
Քայլ 4. Լուծիր առաջին փոփոխականի համար:
Այժմ, երբ հավասարման մեջ ունեք միայն մեկ փոփոխական, կարող եք հեշտությամբ լուծել փոփոխականի համար, x, ինչպես և այլ հավասարումների դեպքում ՝ գումարելով, հանելով, բաժանելով և բազմապատկելով:
-
Օրինակ ՝ x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4/2
- x = 2
Քայլ 5. Լուծեք մնացած փոփոխականների համար:
Մուտքագրեք նոր արժեք ՝ x սկզբնական հավասարման մեջ `արժեքը գտնելու համար յ.
-
Օրինակ ՝ y = x
y = 2
Քայլ 6. Սահմանեք գագաթները:
Գագաթը արժեք պարունակող կոորդինատն է x եւ յ որ դու հենց նոր հայտնաբերեցիր:
Օրինակ ՝ (2, 2)
Մեթոդ 3 5 -ից. Գտնելով պարաբոլայի վրա ուղղահայացը ՝ օգտագործելով համաչափության առանցքը
Քայլ 1. Գործոնավորիր հավասարումը:
Քառակուսի հավասարումը շարադրել գործոնների տեսքով: Քառակուսային հավասարումը որոշելու մի քանի եղանակ կա, բայց ավարտելուց հետո փակագծերում կունենաք երկու խումբ, որոնք դրանք միասին բազմապատկելիս կստանաք սկզբնական հավասարումը:
-
Օրինակ ՝ (օգտագործելով վերլուծություն)
- 3x2 - 6x - 45
- Արդյունքները թողնում են նույն գործոնը ՝ 3 (x2 - 2x - 15)
- A և c գործակիցների բազմապատկում ՝ 1 * -15 = -15
- Գտնում է երկու թիվ, որոնք բազմապատկելիս հավասար է -15 և որոնց գումարը հավասար է b արժեքին, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- Երկու արժեքները փոխարինիր 'ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15) հավասարման մեջ:
- Ֆակտորինգ ըստ խմբավորման. F (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
Քայլ 2. Գտեք հավասարման x- միջանցքը:
Երբ x, f (x) գործառույթը հավասար է 0-ի, պարաբոլան հատում է x առանցքը: Դա տեղի կունենա, երբ ցանկացած գործոն հավասար լինի 0 -ի:
-
Օրինակ ՝ 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- Այսպիսով, արմատներն են ՝ (-3, 0) և (5, 0)
Քայլ 3. Գտեք միջնակետը:
Հավասարումի համաչափության առանցքը ճշգրիտ կիսով չափ կգտնվի հավասարման երկու արմատների միջև: Դուք պետք է իմանաք համաչափության առանցքը, քանի որ գագաթները գտնվում են այնտեղ:
Օրինակ `x = 1; այս արժեքը գտնվում է -3 և 5 -ի միջնամասում
Քայլ 4. Միացրեք x- ի արժեքը սկզբնական հավասարման մեջ:
Միացրեք համաչափության առանցքի x արժեքը պարաբոլայի հավասարման մեջ: Y արժեքը կլինի գագաթի y արժեքը:
Օրինակ ՝ y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
Քայլ 5. Գրեք գագաթնակետի կետերը:
Մինչև այս պահը x և y վերջին հաշվարկված արժեքները կտան գագաթի կոորդինատները:
Օրինակ ՝ (1, -48)
Մեթոդ 4 -ից 5 -ը. Գտնելով պարաբոլայի վրա ուղղահայաց քառակուսիները լրացնելու միջոցով
Քայլ 1. Վերաշարադրեք սկզբնական հավասարումը գագաթային տեսքով:
«Գագաթ» ձևը ձևով գրված հավասարություն է y = a (x - h)^2 + k, իսկ գագաթնակետն է (ժ, կ). Սկզբնական քառակուսի հավասարումը պետք է վերաշարադրվի այս տեսքով, և դրա համար պետք է լրացնել քառակուսին:
Օրինակ ՝ y = -x^2 - 8x - 15
Քայլ 2. Ստացեք գործակիցը a
Հեռացրեք առաջին գործակիցը, a հավասարման առաջին երկու գործակիցներից: Այս պահին թողեք վերջին գործակիցը c:
Օրինակ ՝ -1 (x^2 + 8x) - 15
Քայլ 3. Փակագծերի ներսում գտեք երրորդ հաստատունը:
Երրորդ հաստատունը պետք է փակված լինի փակագծերում, որպեսզի փակագծերում նշված արժեքները կատարյալ քառակուսի կազմեն: Այս նոր հաստատունը հավասար է կեսի գործակցի կեսին:
-
Օրինակ ՝ 8/2 = 4; 4 * 4 = 16; այնպես, որ,
- -1 (x^2 + 8x + 16)
- Հիշեք, որ փակագծերի ներսում կատարվող գործընթացները պետք է իրականացվեն նաև փակագծերից դուրս.
- y = -1 (x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
Քայլ 4. Պարզեցրեք հավասարումը
Քանի որ փակագծերի ներսում ձևը այժմ կատարյալ քառակուսի է, կարող եք պարզեցնել փակագծերի ներսի ձևը գործոնավորված ձևի: Միաժամանակ, կարող եք ավելացնել կամ հանել արժեքներ փակագծերից դուրս:
Օրինակ ՝ y = -1 (x + 4)^2 + 1
Քայլ 5. Գտեք գագաթային հավասարման հիման վրա կոորդինատները:
Հիշեցնենք, որ հավասարման գագաթնակետային ձևն է y = a (x - h)^2 + k, հետ (ժ, կ) որոնք գագաթի կոորդինատներն են: Այժմ դուք ունեք ամբողջական տեղեկատվություն h և k արժեքները մուտքագրելու և խնդիրը լուծելու համար:
- k = 1
- h = -4
- Այնուհետև հավասարման գագաթը կարելի է գտնել ՝ (-4, 1)
Մեթոդ 5 -ից 5 -ը. Գտնելով պարաբոլայի վրա ուղղահայացը `պարզ բանաձևի միջոցով
Քայլ 1. Գտեք գագաթի x արժեքը անմիջապես:
Երբ պարաբոլայի հավասարումը գրված է ձեւով y = ax^2 + bx + c, գագաթնակետի x- ը կարելի է գտնել բանաձևով x = -b / 2a. Պարզապես միացրեք a և b արժեքները հավասարումից բանաձևին ՝ x գտնելու համար:
- Օրինակ ՝ y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b/2a = -(- -8)/(2*(-1)) = 8/(- -2) = -4
- x = -4
Քայլ 2. Միացրեք այս արժեքը սկզբնական հավասարման մեջ:
X- ի արժեքը հավասարման մեջ միացնելով ՝ կարող եք գտնել y- ն: Y արժեքը կլինի գագաթի կոորդինատների y արժեքը:
-
Օրինակ ՝ y = -x^2 - 8x - 15 = - (- 4)^2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
Քայլ 3. Գրի՛ր գագաթների կոորդինատները:
Ստացված x և y արժեքները գագաթնակետի կոորդինատներն են:
