Բազմանդամը պարունակում է փոփոխական (x) հզորությամբ, որը հայտնի է որպես աստիճան, և մի քանի տերմին և/կամ հաստատուն: Բազմանդամ դարձնել նշանակում է հավասարումը բաժանել ավելի պարզ հավասարումների, որոնք կարող են բազմապատկվել: Այս հմտությունը Հանրահաշիվ 1 -ից և բարձր է, և գուցե դժվար լինի հասկանալ, եթե ձեր մաթեմատիկական հմտությունները այս մակարդակի վրա չեն:
Քայլ
Սկսել
Քայլ 1. Ստեղծեք ձեր հավասարումը:
Քառակուսային հավասարման ստանդարտ ձևաչափն է.
կացին2 + bx + c = 0
Սկսեք ՝ ձեր հավասարման պայմանները պատվիրելով ամենաբարձրից մինչև ամենացածր հզորությունը, ինչպես այս ստանդարտ ձևաչափում: Օրինակ:
6 + 6x2 + 13x = 0
Մենք կվերադասավորենք այս հավասարումը, որպեսզի ավելի հեշտ լինի աշխատել ՝ պարզապես տեղափոխելով տերմինները.
6x2 + 13x + 6 = 0
Քայլ 2. Գտեք ձևի գործոնը `օգտագործելով հետևյալ մեթոդներից մեկը:
Բազմանդամության արդյունքները հաշվի առնելով երկու ավելի պարզ հավասարումներ, որոնք կարող են բազմապատկվել `նախնական բազմանդամը ստանալու համար.
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Այս օրինակում (2x + 3) և (3x + 2) են սկզբնական հավասարման գործոնները ՝ 6x2 +13x+6
Քայլ 3. Ստուգեք ձեր աշխատանքը:
Բազմապատկեք ձեր ունեցած գործոնները: Այնուհետև, համադրեք տերմինների պես և վերջ: Սկսել:
(2x + 3) (3x + 2)
Եկեք փորձենք բազմապատկել տերմինները ՝ օգտագործելով PLDT (առաջինը ՝ դրսից, ներսից ՝ վերջինը), արդյունքում ՝
6x2 + 4x + 9x + 6
Այստեղից մենք կարող ենք գումարել 4x և 9x, քանի որ դրանք նման են տերմինների: Մենք գիտենք, որ մեր գործոնները ճիշտ են, քանի որ մենք ստանում ենք մեր սկզբնական հավասարումը.
6x2 + 13x + 6
Մեթոդ 1 6 -ից. Փորձություն և սխալ
Եթե դուք ունեք բավականին պարզ բազմանդամ, գուցե ինքներդ կարողանաք գտնել գործոնները ՝ միայն նրանց նայելով: Օրինակ, պրակտիկայից հետո շատ մաթեմատիկոսներ կարող են պարզել, որ հավասարումը 4x է2 + 4x + 1 գործակիցը ունի (2x + 1) և (2x + 1) ՝ պարզապես հաճախակի նայելով դրան: (Սա, իհարկե, հեշտ չի լինի ավելի բարդ բազմանդամների համար): Այս օրինակի համար եկեք օգտագործենք ավելի քիչ հաճախ օգտագործվող հավասարություն.
3x2 + 2x - 8
Քայլ 1. Գրիր a և c տերմինի գործոնների ցուցակ:
Օգտագործելով կացին հավասարման ձևաչափը2 + bx + c = 0, առանձնացրեք a և c տերմինները և գրեք այն երկու գործոնները: 3x- ի համար2 + 2x - 8, նշանակում է.
a = 3 և ունի մի շարք գործոններ ՝ 1 * 3
c = -8 և ունի գործոնների չորս խումբ ՝ -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 և -1 * 8:
Քայլ 2. Գրեք փակագծերի երկու փաթեթ դատարկ տարածություններով:
Յուրաքանչյուր հավասարման համար հաստատուններով կլրացնեք ձեր ստեղծած դատարկությունները.
(x) (x)
Քայլ 3. Լրացրու x- ի դիմաց առկա բացերը a- ի արժեքի հնարավոր զույգ գործոններով:
Մեր օրինակում a տերմինի համար ՝ 3x2, մեր օրինակի համար կա միայն մեկ հնարավորություն.
(3x) (1x)
Քայլ 4. X- ից հետո երկու դատարկը լրացրեք հաստատունի զույգ գործոններով:
Ենթադրենք, մենք ընտրում ենք 8 և 1. Գրեք դրանցում.
(3x
Քայլ 8.)(
Քայլ 1
Քայլ 5. Որոշեք նշանը (գումարած կամ մինուս) x փոփոխականի և թվի միջև:
Կախված սկզբնական հավասարման նշաններից, հնարավոր է հնարավոր լինի փնտրել հաստատունների նշաններ: Ենթադրենք, որ մենք երկու հաստատուններն անվանում ենք h և k մեր երկու գործոնների համար.
Եթե կացին2 + bx + c ապա (x + h) (x + k)
Եթե կացին2 - bx - c կամ կացին2 + bx - c ապա (x - h) (x + k)
Եթե կացին2 - bx + c ապա (x - h) (x - k)
Մեր օրինակի համար ՝ 3x2 + 2x - 8, նշաններն են ՝ (x - h) (x + k), ինչը մեզ տալիս է երկու գործոն.
(3x + 8) և (x - 1)
Քայլ 6. Ստուգեք ձեր ընտրությունը `օգտագործելով առաջին-վերջ-վերջին բազմապատկումը (PLDT):
Առաջին արագ փորձարկումն այն է, թե արդյոք միջին տերմինը գոնե ճիշտ արժեք ունի: Եթե ոչ, գուցե դուք սխալ գ գործոններ եք ընտրել: Փորձենք մեր պատասխանը.
(3x + 8) (x - 1)
Բազմապատկելով մենք ստանում ենք.
3x2 - 3x + 8x - 8
Պարզեցնելով այս հավասարումը `ավելացնելով նմանատիպ (-3x) և (8x) տերմինները, մենք ստանում ենք.
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Այժմ մենք գիտենք, որ մենք պետք է սխալ գործոններ օգտագործած լինենք.
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Քայլ 7. Անհրաժեշտության դեպքում փոխեք ձեր ընտրությունը:
Մեր օրինակում, եկեք փորձենք 2 -ը և 4 -ը 1 -ի և 8 -ի փոխարեն.
(3x + 2) (x - 4)
Այժմ մեր գ տերմինը -8 է, բայց մեր արտաքին/ներքին արտադրանքը (3x * -4) և (2 * x) -12x և 2x է, ինչը համակցված չի արտադրի ճիշտ b +2x տերմինը:
-12x + 2x = 10x
10x2x
Քայլ 8. Անհրաժեշտության դեպքում փոխեք կարգը:
Փորձենք փոխանակել 2 -ը և 4 -ը.
(3x + 4) (x - 2)
Այժմ, մեր գ տերմինը (4 * 2 = 8) ճիշտ է, բայց արտաքին/ներքին արտադրանքը -6x և 4x է: Եթե դրանք համատեղենք.
-6x + 4x = 2x
2x -2x Մենք բավականին մոտ ենք 2x- ին, որը փնտրում ենք, բայց նշանը սխալ է:
Քայլ 9. Անհրաժեշտության դեպքում կրկնակի ստուգեք ձեր պիտակները:
Մենք կօգտագործենք նույն կարգը, բայց փոխանակենք այն հավասարումները, որոնք ունեն մինուս նշան.
(3x - 4) (x + 2)
Այժմ c տերմինը խնդիր չէ, և ներկայիս արտաքին/ներքին արտադրանքը (6x) և (-4x) է: Որովհետեւ:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Այժմ մենք կարող ենք օգտագործել դրական 2x սկզբնական խնդրից: Սրանք պետք է լինեն ճիշտ գործոններ:
Մեթոդ 2 -ից 6 -ը `քայքայումը
Այս մեթոդը կբացահայտի a և c տերմինների բոլոր հնարավոր գործոնները և դրանք կօգտագործի ճիշտ գործոնները գտնելու համար: Եթե թվերը չափազանց մեծ են կամ գուշակությունները ժամանակատար են թվում, օգտագործեք այս մեթոդը: Եկեք օրինակ օգտագործենք.
6x2 + 13x + 6
Քայլ 1. Տերմինը a բազմապատկեք c տերմինով:
Այս օրինակում a- ն 6 է, իսկ c- ն նույնպես 6:
6 * 6 = 36
Քայլ 2. Ստացեք բ տերմինը `ֆակտորինգի և թեստավորման միջոցով:
Մենք փնտրում ենք երկու թիվ, որոնք a / c ապրանքի գործոններ են, որոնք մենք հայտնաբերել ենք և նույնպես գումարվում են b (13) տերմինի հետ:
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Քայլ 3. Փոխարինեք երկու թվերը, որոնք ստանում եք ձեր հավասարման մեջ ՝ բ տերմին ավելացնելով:
Եկեք k և h օգտագործենք մեր ունեցած երկու թվերը ՝ 4 և 9:
կացին2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Քայլ 4. Ֆակտորի՛ր բազմանդամը `խմբավորելով:
Կազմակերպեք հավասարումները այնպես, որ կարողանաք վերցնել ինչպես առաջին, այնպես էլ երկրորդ տերմինի ամենամեծ ընդհանուր գործոնը: Գործոնների խումբը պետք է լինի նույնը: Ավելացրեք ամենամեծ ընդհանուր գործոնը և տեղադրեք այն փակագծերում `գործոնների խմբի կողքին. արդյունքը ձեր երկու գործոնն է.
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Մեթոդ 3 6 -ից ՝ Եռակի խաղ
Նմանապես քայքայման մեթոդին, եռակի խաղի մեթոդը ուսումնասիրում է a և c տերմինները բազմապատկելու և b- ի արժեքը օգտագործելու հնարավոր գործոնները: Փորձեք օգտագործել այս օրինակի հավասարումը.
8x2 + 10x + 2
Քայլ 1. Տերմինը a բազմապատկեք c տերմինով:
Ինչպես վերլուծման մեթոդը, դա կօգնի մեզ բացահայտել b ժամկետի թեկնածուներին: Այս օրինակում a- ն 8 է, c- ն ՝ 2:
8 * 2 = 16
Քայլ 2. Գտեք երկու թիվ, որոնք բազմապատկելով թվերով, տալիս են այս թիվը b տերմինին հավասար ընդհանուր գումարով:
Այս քայլը նույնն է, ինչ վերլուծելը. Մենք փորձարկում և հեռացնում ենք հաստատունի թեկնածուները: A և c տերմինների արտադրյալը 16 է, իսկ c տերմինը ՝ 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Քայլ 3. Վերցրեք այս երկու թվերը և փորձարկեք դրանք միացնելով եռակի խաղի բանաձևին:
Վերցրեք նախորդ քայլի մեր երկու թվերը. Եկեք դրանք անվանենք h և k և միացրեք դրանք հավասարման մեջ.
((կացին + ժ) (կացին + կ))/ ա
Մենք կստանանք.
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Քայլ 4. Ուշադրություն դարձրու, եթե համարիչի երկու տերմիններից որևէ մեկը բաժանվում է a- ի:
Այս օրինակում մենք տեսանք, թե արդյոք (8x + 8) կամ (8x + 2) բաժանելի է 8 -ի վրա (8x + 8) բաժանվում է 8 -ի, ուստի այս տերմինը կբաժանենք a- ի վրա և մնացած գործոնները միայնակ կթողնենք:
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Այստեղ փակագծերում տերմինն այն է, ինչ մնում է a տերմինի հետ բաժանելուց հետո:
Քայլ 5. Վերցրեք մեկ կամ երկու տերմինների ամենամեծ ընդհանուր գործոնը (GCF), եթե այդպիսիք կան:
Այս օրինակում, երկրորդ տերմինը, ունի GCF 2, քանի որ 8x + 2 = 2 (4x + 1): Այս արդյունքը համատեղեք նախորդ քայլից ստացած տերմինի հետ: Սրանք ձեր հավասարման գործոններն են:
2 (x + 1) (4x + 1)
Մեթոդ 4 6 -ից. Քառակուսի արմատների տարբերություն
Բազմանդամների որոշ գործակիցներ կարող են լինել «քառակուսիներ» կամ երկու թվերի արտադրյալ: Այս քառակուսիների նույնականացումը թույլ է տալիս ավելի արագ ֆակտորավորել բազմաթիվ բազմանդամներ: Փորձեք այս հավասարումը.
27x2 - 12 = 0
Քայլ 1. Հնարավորության դեպքում հանեք ամենամեծ ընդհանուր գործոնը:
Այս դեպքում մենք կարող ենք տեսնել, որ 27 -ը և 12 -ը բաժանվում են 3 -ի, ուստի ստանում ենք.
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Քայլ 2. Որոշեք, եթե ձեր հավասարման գործակիցները քառակուսի թվեր են:
Այս մեթոդը օգտագործելու համար դուք պետք է կարողանաք վերցնել երկու տերմինի քառակուսի արմատը: (Նկատի ունեցեք, որ մենք անտեսելու ենք բացասական նշանը. Քանի որ այս թվերը քառակուսիներ են, դրանք կարող են լինել երկու դրական կամ բացասական թվերի արտադրյալ)
9x2 = 3x * 3x և 4 = 2 * 2
Քայլ 3. Օգտագործած քառակուսի արմատից գրի՛ր գործոնները:
Մենք վերցնում ենք a և c արժեքները մեր վերևի քայլից ՝ a = 9 և c = 4, այնուհետև գտնում ենք քառակուսի արմատը ՝ a = 3 և c = 2. Արդյունքը գործոնի հավասարման գործակիցն է.
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Մեթոդ 5 -ից 6 -ից. Քառակուսի բանաձև
Եթե մնացած ամեն ինչ ձախողվի, և հավասարումը հնարավոր չէ ամբողջությամբ հաշվարկել, օգտագործեք քառակուսի բանաձևը: Փորձեք այս օրինակը.
x2 + 4x + 1 = 0
Քայլ 1. Մուտքագրեք պահանջվող արժեքները քառակուսի բանաձևում
x = -b ± (բ2 - 4 ա)
2 ա
Մենք ստանում ենք հավասարումը.
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Քայլ 2. Գտեք x- ի արժեքը:
Դուք կստանաք երկու արժեք: Ինչպես ցույց է տրված վերևում, մենք ստանում ենք երկու պատասխան.
x = -2 + (3) կամ x = -2 -(3)
Քայլ 3. Գործոնները գտնելու համար օգտագործեք ձեր x- արժեքը:
Միացրեք x- ի ստացած արժեքները երկու բազմանդամ հավասարումների մեջ որպես հաստատուններ: Արդյունքը ձեր գործոններն են: Եթե մեր պատասխանները կանչենք h և k, ապա երկու գործոնները գրում ենք հետևյալ կերպ.
(x - h) (x - k)
Այս օրինակում մեր վերջնական պատասխանը հետևյալն է.
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Մեթոդ 6 -ից 6 -ը ՝ Հաշվիչի օգտագործումը
Եթե ձեզ թույլատրվում է օգտագործել հաշվիչ, գրաֆիկական հաշվիչը շատ ավելի հեշտացնում է ֆակտորինգային գործընթացը, հատկապես ստանդարտացված թեստերի դեպքում: Այս հրահանգները TI գրաֆիկական հաշվիչի համար են: Մենք կօգտագործենք հավասարման օրինակ.
y = x2 x 2
Քայլ 1. Մուտքագրեք ձեր հավասարումը հաշվիչի մեջ:
Դուք կօգտագործեք հավասարման ֆակտորինգը, որը գրված է [Y =] էկրանին:
Քայլ 2. Հաշվիչով գրաֆիկացրեք ձեր հավասարումը:
Երբ մուտքագրեք ձեր հավասարումը, սեղմեք [ԳՐԱՖԻՄ] - կտեսնեք հարթ կոր, որը ներկայացնում է ձեր հավասարումը (իսկ ձևը կոր է, քանի որ մենք օգտագործում ենք բազմանդամներ):
Քայլ 3. Գտեք այն վայրը, որտեղ կորը հատվում է x առանցքի հետ:
Քանի որ բազմանդամ հավասարումները սովորաբար գրվում են որպես կացին2 + bx + c = 0, այս խաչմերուկը x- ի երկրորդ արժեքն է, որի պատճառով հավասարումը զրո է.
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Եթե չեք կարողանում պարզել, թե որտեղ է գրաֆիկը հատվում x առանցքը ՝ դրան նայելով, սեղմեք [2-րդ], այնուհետև [TRACE]: Սեղմեք [2] կամ ընտրեք զրո: Տեղափոխեք կուրսորը խաչմերուկի ձախ կողմում և սեղմեք [ENTER]: Տեղափոխեք կուրսորը խաչմերուկի աջ կողմում և սեղմեք [ENTER]: Տեղափոխեք կուրսորը հնարավորինս մոտ խաչմերուկին և սեղմեք [ENTER]: Հաշվիչը կգտնի x- ի արժեքը: Դա արեք նաև մյուս խաչմերուկների դեպքում:
Քայլ 4. Նախորդ քայլից ստացված x արժեքը միացրեք երկու գործոնային հավասարման մեջ:
Եթե մենք անվանենք մեր x երկու արժեքները h և k, ապա այն հավասարումները, որոնք մենք կօգտագործեինք, կլինեն.
(x - h) (x - k) = 0
Այսպիսով, մեր երկու գործոններն են.
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Խորհուրդներ
- Եթե ունեք TI-84 հաշվիչ (գրաֆիկ), կա SOLVER անունով ծրագիր, որը կլուծի ձեր քառակուսային հավասարումները: Այս ծրագիրը կլուծի ցանկացած աստիճանի բազմանդամներ:
- Եթե տերմինը գրված չէ, գործակիցը 0 է: Օգտակար է վերաշարադրել հավասարումը, եթե դա այդպես է, օրինակ `x2 + 6 = x2 +0x+6:
- Եթե դուք բազմապատկել եք քառակուսի բանաձևի միջոցով և պատասխանը ստացել արմատների առումով, ապա գուցե ցանկանաք x- ի արժեքը փոխարկել կոտորակի ՝ ստուգելու համար:
- Եթե տերմինը չունի գրավոր գործակից, ապա գործակիցը 1 է, օրինակ `x2 = 1x2.
- Բավական պրակտիկայից հետո, ի վերջո, կկարողանաք ձեր գլխում գործածել բազմանդամներ: Մինչև չկարողանաք դա անել, համոզվեք, որ միշտ գրեք, թե ինչպես անել:
