Կոտորակները հավասարակշռելու 5 եղանակ

2024 Հեղինակ: Jason Gerald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-15 08:17

Երկու կոտորակներ համարժեք են, եթե դրանք ունեն նույն արժեքը: Կոտորակները իրենց համարժեք ձևերին փոխակերպել իմանալը չափազանց կարևոր մաթեմատիկական հմտություն է, որը պահանջվում է մաթեմատիկայի բոլոր ձևերի համար ՝ հիմնական հանրահաշվից մինչև առաջադեմ հաշվարկ: Այս հոդվածը կտրամադրի մի քանի ուղիներ ՝ հաշվարկելու համարժեք կոտորակները հիմնական բազմապատկումից և բաժանումից մինչև համարժեք կոտորակային հավասարումների լուծման ավելի բարդ եղանակներ:

Քայլ

Մեթոդ 1 5 -ից ՝ համարժեք կոտորակների դասավորում

Քայլ 1. Համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք նույն թվով:

Երկու տարբեր, բայց համարժեք կոտորակներ, ըստ սահմանման, ունեն համարիչ և հայտարար, որոնք միմյանց բազմապատիկ են: Այլ կերպ ասած, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը նույն թվով բազմապատկելով կստացվի համարժեք կոտորակներ: Չնայած նոր կոտորակի թվերը տարբեր կլինեն, կոտորակները կունենան նույն արժեքը:

• Օրինակ, եթե վերցնենք 4/8 կոտորակը և համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք 2 -ով, կստանանք (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16: Այս երկու կոտորակները համարժեք են:
• (4 × 2)/(8 × 2) իրականում նույնն է, ինչ 4/8 × 2/2: Հիշեք, որ երկու կոտորակ բազմապատկելիս մենք բազմապատկում ենք ուղիղ ՝ նկատի ունենալով համարիչը համարիչով և հայտարարը ՝ հայտարարով:
• Նկատի ունեցեք, որ բաժանումը կատարելու դեպքում 2/2 հավասար է 1 -ի: Այսպիսով, ավելի հեշտ է հասկանալ, թե ինչու են 4/8 և 8/16 համարժեք, քանի որ 4/8 × (2/2) = բազմապատկելը մնում է 4/8: Նույն կերպ, դա նույնն է, ինչ ասել 4/8 = 8/16:
• Givenանկացած տրված կոտորակ ունի անվերջ թվով համարժեք կոտորակներ: Դուք կարող եք ինչպես համարիչը, այնպես էլ հայտարարը բազմապատկել ցանկացած ամբողջ թվով ՝ անկախ չափից կամ փոքրից, համարժեք կոտորակ ստանալու համար:

Քայլ 2. Համարիչն ու հայտարարը բաժանիր նույն թվի վրա:

Ինչպես բազմապատկումը, բաժանումը կարող է օգտագործվել նաև ձեր կոտորակին համարժեք նոր կոտորակ գտնելու համար: Պարզապես կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք նույն թվի վրա, որպեսզի ստանաք համարժեք կոտորակ: Այս գործընթացի մեկ թերություն կա. Վերջնական կոտորակը պետք է ունենա ամբողջ թվեր և՛ համարիչով, և՛ հայտարարով, որպեսզի ճշմարիտ լինի:

Օրինակ, եկեք հետ նայենք 4/8 -ին: Եթե բազմապատկելու փոխարեն երկու համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք 2 -ի, ստանում ենք (4 2)/(8 2) = 2/4: 2 -ը և 4 -ը ամբողջ թվեր են, ուստի այս համարժեք կոտորակները ճշմարիտ են:

Մեթոդ 2 5 -ից. Հիմնական բազմապատկման օգտագործում `հավասարությունը որոշելու համար

Քայլ 1. Գտիր այն թիվը, որը պետք է բազմապատկվի ավելի փոքր հայտարարով, որպեսզի ստանաս ավելի մեծ հայտարար:

Կոտորակների հետ կապված բազմաթիվ խնդիրներ ներառում են երկու կոտորակների համարժեք լինելու որոշումը: Այս թիվը հաշվարկելով ՝ կարող եք սկսել հավասարեցնել կոտորակային տերմինները ՝ հավասարությունը որոշելու համար:

• Օրինակ ՝ 4/8 և 8/16 կոտորակները նորից օգտագործեք: Փոքր հայտարարը 8 -ն է, և մենք պետք է թիվը բազմապատկենք 2 -ով, որպեսզի ստանանք ավելի մեծ հայտարարը, որը 16 է: Այսպիսով, թիվն այս դեպքում 2 է:
• Ավելի բարդ թվերի համար կարող եք մեծ հայտարարը բաժանել փոքր հայտարարի: Այս դեպքում 16 -ը բաժանվում է 8 -ի, ինչը դեռ տալիս է 2 -ը:
• Թիվը միշտ չէ, որ ամբողջ թիվ է: Օրինակ, եթե հայտարարները 2 և 7 են, ապա թիվը 3, 5 է:

Քայլ 2. Առավել փոքր տերմին ունեցող կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք առաջին քայլի համարից:

Երկու տարբեր, բայց համարժեք կոտորակներ, ըստ սահմանման, ունեն. համարիչ և հայտարար, որոնք միմյանց բազմապատիկ են. Այլ կերպ ասած, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը նույն թվով բազմապատկելով կստացվի համարժեք կոտորակ: Թեև այս նոր կոտորակի թվերը տարբեր կլինեն, այդ կոտորակները կունենան նույն արժեքը:

Օրինակ, եթե առաջին քայլից օգտագործենք 4/8 կոտորակը և համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք ավելի վաղ մեր սահմանած թվի վրա, որը 2 է, մենք ստանում ենք (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Այս արդյունքն ապացուցում է, որ այս երկու կոտորակները համարժեք են:

Մեթոդ 3 5 -ից. Հավասարությունը որոշելու համար հիմնական բաժանման օգտագործումը

Քայլ 1. Յուրաքանչյուր կոտորակ հաշվիր որպես տասնորդական թիվ:

Պարզ փոփոխականներ չունեցող պարզ կոտորակների դեպքում հավասարությունը որոշելու համար յուրաքանչյուր կոտորակ կարող եք ներկայացնել որպես տասնորդական թիվ: Քանի որ յուրաքանչյուր կոտորակ իրականում բաժանման խնդիր է, սա հավասարությունը որոշելու ամենապարզ միջոցն է:

• Օրինակ, օգտագործեք մեր նախկինում օգտագործած կոտորակը ՝ 4/8: 4/8 կոտորակը համարժեք է 4 բաժանել 8 -ով, որը 4/8 = 0.5 է: Կարող եք նաև լուծել մյուս օրինակը, որը 8/16 = 0.5 է: Անկախ կոտորակի պայմաններից, կոտորակը համարժեք է: եթե երկու թվերն էլ նույնն են, երբ տասնորդականով են ներկայացված:
• Հիշեք, որ տասնորդական արտահայտությունները կարող են ունենալ մի քանի թվանշան, մինչև հավասարության ակնհայտ լինելը: Որպես հիմնական օրինակ ՝ 1/3 = 0.333 կրկնվում է, իսկ 3/10 = 0.3: Մեկից ավելի թվանշան օգտագործելով տեսնում ենք, որ այս երկու կոտորակները համարժեք չեն:

Քայլ 2. Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանիր նույն թվի վրա ՝ համարժեք կոտորակ ստանալու համար:

Ավելի բարդ կոտորակների դեպքում բաժանման մեթոդը պահանջում է լրացուցիչ քայլեր: Մինչդեռ բազմապատկման դեպքում դուք կարող եք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել նույն թվի վրա ՝ համարժեք կոտորակ ստանալու համար: Այս գործընթացի մեկ թերություն կա. Theշմարիտ լինելու համար վերջնական կոտորակը պետք է ունենա և՛ թվանշան, և՛ հայտարարի ամբողջ թվեր:

Օրինակ, եկեք հետ նայենք 4/8 -ին: Եթե բազմապատկելու փոխարեն համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք 2 -ի, ստանում ենք (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 -ը և 4 -ը ամբողջ թիվ են, ուստի այս համարժեք կոտորակները ճշմարիտ են:

Քայլ 3. Կոտորակները պարզեցրու ամենապարզ տերմիններով:

Կոտորակների մեծ մասը սովորաբար գրվում են իրենց ամենապարզ տերմիններով, և կոտորակները կարող եք վերածել իրենց ամենապարզ ձևի ՝ բաժանելով ամենամեծ ընդհանուր գործոնի (GCF) վրա: Այս քայլը կատարվում է նույն տրամաբանությամբ, ինչ համարժեք կոտորակները գրելիս ՝ դրանք վերածելով նույն հայտարարի, բայց այս մեթոդը փորձում է պարզեցնել յուրաքանչյուր կոտորակը իր հնարավորինս փոքրագույն պայմաններով:

• Երբ կոտորակն իր ամենապարզ ձևով է, համարիչն ու հայտարարն ունեն ամենափոքր հնարավոր արժեքները: Երկուսն էլ չեն կարող բաժանվել որևէ ամբողջ թվով `ավելի փոքր արժեք ստանալու համար: Ամենապարզ ձևի կոտորակը վերածելու համար ամենապարզ համարժեք ձևի ՝ մենք համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք նրանց ամենամեծ ընդհանուր գործոնի վրա:

• Համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր գործոնը (GCF) ամենամեծ թիվն է, որը նրանց բաժանում է ՝ ամբողջ թիվ տալու համար: Այսպիսով, մեր 4/8 օրինակում, քանի որ

  Քայլ 4. ամենամեծ թիվն է, որը բաժանվում է 4 -ի և 8 -ի, մենք մեր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կբաժանենք 4 -ի `ստանալու ամենապարզ տերմինները: (4 4)/(8 4) = 1/2. Մեր մյուս օրինակի համար ՝ 8/16, GCF- ն 8 է, որը նույնպես վերադարձնում է 1/2 արժեքը ՝ որպես կոտորակի ամենապարզ արտահայտություն:

Մեթոդ 4 5 -ից. Փոփոխականներ գտնելու համար խաչաձև արտադրանքի օգտագործումը

Քայլ 1. Երկու կոտորակները դասավորիր այնպես, որ դրանք իրար հավասար լինեն:

Մենք օգտագործում ենք խաչի բազմապատկում մաթեմատիկական խնդիրների համար, որտեղ գիտենք, որ կոտորակները համարժեք են, բայց թվերից մեկը փոխարինվել է փոփոխականով (սովորաբար x), որը մենք պետք է լուծենք: Նման դեպքերում մենք գիտենք, որ այդ կոտորակները համարժեք են, քանի որ դրանք հավասար պայմանների նշանի մյուս կողմի միակ տերմիններն են, բայց հաճախ փոփոխականին գտնելու եղանակն ակնհայտ չէ: Բարեբախտաբար, խաչաձեւ բազմապատկման դեպքում այս տիպի խնդիրների լուծումը հեշտ է:

Քայլ 2. Վերցրեք երկու համարժեք կոտորակներ և դրանք բազմապատկեք «X» ձևով:

Այլ կերպ ասած, դուք մի կոտորակի համարիչը բազմապատկում եք մեկ այլ կոտորակի հայտարարի վրա և հակառակը, այնուհետև դասավորում եք երկու պատասխանը, որոնք կհամապատասխանեն միմյանց և կլուծեն:

Վերցրեք մեր երկու օրինակները ՝ 4/8 և 8/16: Երկուսն էլ չունեն փոփոխական, բայց մենք կարող ենք ապացուցել հասկացությունը, քանի որ արդեն գիտենք, որ դրանք համարժեք են: Խաչաձեւ բազմապատկելով ստանում ենք 4/16 = 8 x 8, կամ 64 = 64, ինչը ճիշտ է: Եթե այս երկու թվերը հավասար չեն, ապա կոտորակները համարժեք չեն:

Քայլ 3. Ավելացնել փոփոխականներ:

Քանի որ խաչաձեւ բազմապատկումը փոփոխականների գտնելու համար համարժեք կոտորակներ որոշելու ամենահեշտ ձեւն է, եկեք փոփոխականներ ավելացնենք:

• Օրինակ, օգտագործենք 2/x = 10/13 հավասարումը: Բազմապատկելու համար մենք բազմապատկում ենք 2 -ը 13 -ով և 10 -ը x- ով, այնուհետև մեր պատասխանները հավասարեցնում ենք միմյանց.

  • 2 × 13 = 26
  • 10 × x = 10x
  • 10x = 26. Այստեղից մեր փոփոխականի պատասխանը գտնելը հասարակ հանրահաշվական խնդիր է: x = 26/10 = 2, 6, կազմելով սկզբնական համարժեք կոտորակը 2/2, 6 = 10/13:

Քայլ 4. Բազմակի փոփոխական կոտորակների կամ փոփոխական արտահայտությունների համար օգտագործեք խաչաձեւ բազմապատկում:

Խաչաձեւ բազմապատկման լավագույն բաներից մեկն այն է, որ այն իրականում աշխատում է նույն կերպ, անկախ նրանից, թե դու աշխատում ես երկու պարզ կոտորակներով (ինչպես վերևում) կամ ավելի բարդ կոտորակներով: Օրինակ, եթե երկու կոտորակներն ունեն փոփոխականներ, ապա լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է միայն վերացնել այդ փոփոխականները: Նմանապես, եթե ձեր կոտորակի համարիչը կամ հայտարարն ունի փոփոխական արտահայտություն (ինչպես x + 1), պարզապես «բազմապատկեք» այն բաշխիչ հատկության միջոցով և լուծեք ինչպես միշտ:

• Օրինակ, եկեք օգտագործենք ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) հավասարումը: Այս դեպքում, ինչպես վերևում, մենք դա կլուծենք խաչաձև արտադրանքով.

  • (x + 3) 4 = 4x + 12
  • (x + 1) 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12, ապա մենք կարող ենք պարզեցնել կոտորակը ՝ երկու կողմերից հանելով 2x
  • 2 = 2x + 12, ապա մենք մեկուսացնում ենք փոփոխականը ՝ երկու կողմերից հանելով 12 -ը
  • -10 = 2x, և բաժանեք 2 -ի ՝ x գտնելու համար
  • - 5 = x

Մեթոդ 5 -ից 5 -ը ՝ փոփոխականներ գտնելու համար քառակուսի բանաձևերի օգտագործումը

Քայլ 1. Խաչեք երկու կոտորակները:

Հավասարության խնդիրների համար, որոնք պահանջում են քառակուսի բանաձև, մենք դեռ սկսում ենք խաչաձև արտադրանքի օգտագործմամբ: Այնուամենայնիվ, ցանկացած խաչաձև արտադրանք, որը ներառում է փոփոխականի տերմինները մեկ այլ փոփոխականի տերմիններով, ամենայն հավանականությամբ կհանգեցնի արտահայտության, որը չի կարող հեշտությամբ լուծվել հանրահաշվի միջոցով: Նման դեպքերում դուք պետք է օգտագործեք այնպիսի տեխնիկա, ինչպիսիք են ֆակտորինգը և/կամ քառակուսի բանաձևերը:

• Օրինակ, եկեք նայենք ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) հավասարմանը: Նախ, եկեք բազմապատկենք.

  • (x + 1) (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  • 4 × 3 = 12
  • 2x² - 2 = 12.

Քայլ 2. Գրիր հավասարումը որպես քառակուսի հավասարություն:

Այս բաժնում մենք ցանկանում ենք գրել այս հավասարումը քառակուսի տեսքով (կացին² + bx + c = 0), որը մենք անում ենք ՝ հավասարումը հավասարեցնելով զրոյի: Այս դեպքում մենք երկու կողմից հանում ենք 12 -ը ՝ 2x ստանալու համար² - 14 = 0.

Որոշ արժեքներ կարող են հավասար լինել 0. Չնայած 2x² - 14 = 0 մեր հավասարման ամենապարզ ձևն է, իսկական քառակուսային հավասարումը 2x է² + 0x + (-14) = 0. Սկզբում կարող է օգտակար լինել քառակուսային հավասարման ձևը գրի առնելը, նույնիսկ եթե որոշ արժեքներ հավասար են 0-ի:

Քայլ 3. Լուծիր ՝ քառակուսի հավասարումից թվերը միացնելով քառակուսի բանաձևին:

Քառակուսի բանաձև (x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a) կօգնի մեզ գտնել մեր x արժեքը այս բաժնում: Մի վախեցեք բանաձևի երկարությունից: Դուք պարզապես երկրորդ քայլի ձեր քառակուսային հավասարումից վերցնում եք արժեքները և դրանք լուծումներից առաջ դնում ճիշտ վայրերում:

• x = (-b +/- (բ² - 4ac))/2a Մեր հավասարման մեջ ՝ 2x² - 14 = 0, a = 2, b = 0, և c = -14:
• x = (-0 +/- (0² - 4(2)(-14)))/2(2)
• x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
• x = (+/- (112))/2 (2)
• x = (+/- 10.58/4)
• x = = +/- 2, 64

Քայլ 4. Ստուգեք ձեր պատասխանը ՝ կրկին մուտքագրելով x արժեքը ձեր քառակուսային հավասարման մեջ:

Երկրորդ քայլից հաշվարկված x արժեքը նորից միացնելով ձեր քառակուսային հավասարմանը, կարող եք հեշտությամբ որոշել, թե արդյոք ճիշտ եք ստացել պատասխանը: Այս օրինակում դուք միացրեք 2, 64 և -2, 64 բնօրինակ քառակուսային հավասարմանը:

Խորհուրդներ

• Կոտորակը դրա համարժեքին դարձնելը իրականում կոտորակի 1 -ով բազմապատկման ձև է: 1/2 -ի 2/4 -ի վերածելու դեպքում համարիչը և հայտարարը 2 -ով բազմապատկելը նույնն է, ինչ 1/2 -ը 2/2 -ով բազմապատկած, ինչը հավասար է 1 -ի:.

• Desiredանկության դեպքում փոխակերպված թիվը վերածեք ընդհանուր կոտորակի `փոխակերպումն ավելի դյուրին դարձնելու համար: Իհարկե, ձեր հանդիպած բոլոր կոտորակները ոչ այնքան հեշտ կլինեն, որքան վերը նշված մեր 4/8 օրինակը փոխակերպելը: Օրինակ, խառը թվերը (օրինակ ՝ 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 և այլն) կարող են մի փոքր ավելի բարդացնել փոխակերպման գործընթացը: Եթե դուք պետք է փոխարկված թիվը վերածեք ընդհանուր կոտորակի, կարող եք դա անել երկու եղանակով ՝ խառը թիվը վերածելով ընդհանուր կոտորակի, այնուհետև այն դարձնելով սովորական, կամ խառը թվերի ձևը պահպանելով և պատասխաններ ստանալ խառը թվերի տեսքով:

  • Ընդհանուր կոտորակի վերածվելու համար խառը թվի ամբողջ բաղադրիչը բազմապատկեք կոտորակային բաղադրիչի հայտարարի վրա և այնուհետ ավելացրեք համարիչին: Օրինակ ՝ 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3: Այնուհետեւ, ցանկության դեպքում, կարող եք այն փոխել ըստ անհրաժեշտության: Օրինակ ՝ 5/3 × 2/2 = 10/6, որը մնում է հավասար 1 2/3:
  • Այնուամենայնիվ, մենք չպետք է փոխարկենք այն վերը նշված ընդհանուր կոտորակի: Հակառակ դեպքում մենք թողնում ենք ամբողջ ամբողջական բաղադրիչը, փոխում ենք միայն կոտորակային բաղադրիչը և ավելացնում ենք ամբողջ բաղադրիչը անփոփոխ: Օրինակ, 3 4/16 համար մենք տեսնում ենք միայն 4/16: 4/16 4/4 = 1/4: Այսպիսով, ամբողջ թվային բաղադրիչները հետ ավելացնելով, մենք ստանում ենք նոր խառը թիվ, 3 1/4.

Գուշացում

• Բազմապատկումն ու բաժանումը կարող են օգտագործվել համարժեք կոտորակներ ստանալու համար, քանի որ բազմապատկումն ու բաժանումը 1 թվի կոտորակային ձևով (2/2, 3/3 և այլն) տալիս է պատասխանը, որը համարժեք է սկզբնական կոտորակին: Լրացումն ու հանումը չեն կարող օգտագործվել:

• Թեև կոտորակները բազմապատկելիս բազմապատկում եք համարիչներն ու հայտարարները, բայց կոտորակներ ավելացնելիս կամ հանելիս հայտարարները չեք ավելացնում կամ հանում:

  Օրինակ, վերևում մենք գիտենք, որ 4/8 4/4 = 1/2: Եթե գումարենք 4/4 -ով, կստանանք բոլորովին այլ պատասխան: 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 կամ 3/2, դրանք հավասար չեն 4/8 -ի: